Question

13．如圖，將⊙O的內(nèi)接矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，連結(jié)BC₁，若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x．
（1）若點(diǎn)O與點(diǎn)C₁重合，求證：A₁D₁為⊙O的切線；
（2）①當(dāng)x=1時(shí)，四邊形ABC₁D₁是菱形；
②當(dāng)x=2時(shí)，△BDD₁為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性質(zhì)，可得出∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，從而證出結(jié)論；
（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)，四條邊都相等，可推得當(dāng)C₁在AC中點(diǎn)時(shí)四邊形ABC₁D₁是菱形；
②當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)C₁與點(diǎn)A重合，可求得BD=DD₁=BD₁=2，從而可判斷△BDD₁為等邊三角形．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠D=90°
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，
∴∠A₁D₁O=∠D=90°，
∴A₁D₁⊥OD₁，
∴A₁D₁為⊙O的切線；

（2）當(dāng)x=1時(shí)，四邊形ABC₁D₁是菱形；
理由：∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC₁=1，∴AB=AC₁，
∴△AC₁B是等邊三角形，
∴AB=D₁C₁，
又AB∥D₁C₁，
∴四邊形ABC₁D₁是菱形；
②如圖所示：當(dāng)x=2時(shí)，△BDD₁為等邊三角形，

則可得BD=DD₁=BD₁=2，
即當(dāng)x=2時(shí)，△BDD₁為等邊三角形．
故答案為：1，2．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及解直角三角形的知識(shí)，解答本題需要我們熟練掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，有一定難度．