Question

如圖，拋物線y=ax²+bx﹣4a經(jīng)過A（﹣1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

 

考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；坐標(biāo)與圖形變化-對稱． 

專題： 壓軸題．

分析： （1）由于拋物線y=ax²+bx﹣4a經(jīng)過A（﹣1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式；

（2）由于點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，把D的坐標(biāo)代入（1）中的解析式即可求出m，然后利用對稱就可以求出關(guān)于直線BC對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx﹣4a經(jīng)過A（﹣1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，

∴，

解之得：a=﹣1，b=3，

∴y=﹣x²+3x+4；

 

（2）∵點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，

∴把D的坐標(biāo)代入（1）中的解析式得

m+1=﹣m²+3m+4，

∴m=3或m=﹣1，

∴m=3，

∴D（3，4），

∵y=﹣x²+3x+4=0，x=﹣1或x=4，

∴B（4，0），

∴OB=OC，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠CBA=45°

設(shè)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E

∵C（0，4）

∴CD∥AB，且CD=3

∴∠ECB=∠DCB=45°

∴E點(diǎn)在y軸上，且CE=CD=3

∴OE=1

∴E（0，1）

即點(diǎn)D關(guān)于直線BC對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）；

點(diǎn)評： 此題考查傳統(tǒng)的待定系數(shù)求函數(shù)解析式，第二問考查點(diǎn)的對稱問題，作合適的輔助線，根據(jù)垂直和三角形全等來求P點(diǎn)坐標(biāo)