如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-3x+9交x軸于點A,交y軸于點B,以AB為一邊在其右側(cè)作矩形ABCD,AB=2BC.
(1)求點D的坐標(biāo);
(2)作∠AOB的平分線交CD邊于E,點P從點O出發(fā),以3個單位每秒的速度向終點E運動,過點P作x軸的平行線,交邊AB于點M,交矩形另一邊于點N,連接EM、EN,點P運動時間為t秒,△EMN的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量取值范圍;
(3)在(2)的條件下,連接CM、CN,當(dāng)t為何值時,CM=CN.

【答案】分析:(1)如圖1,過點D作DK⊥x軸于K,構(gòu)建相似三角形:△AOB∽△ADK;利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求得相似比是,然后由圖形與坐標(biāo)的性質(zhì)來求點D的坐標(biāo);
(2)需要分類討論:①如圖2:M在AB上,N在AD上;②如圖3:M在AB上,N在CD上;
(3)需要分類討論:①如圖4:M在AB上,N在AD上;②如圖5:M在AB上,N在CD上.
解答:解:(1)如圖1,過點D作DK⊥x軸于K,易證△AOB∽△ADK,
==
∵AB=2BC,BC=AD
=
OA=2DK,OB=2AK
∵直線y=-3x+9交x軸于點A,交y軸于點B,
∴A(3,0),B(0,9),OA=3,OB=9.
∴DK=,AK=,∴OK=,∴D();

(2)∵AB∥DC,直線AB的解析式為y=-3x+9
∴設(shè)直線CD的解析式為:y=-3x+b,
∵直線CD經(jīng)過點D(,),
=-3×+b,
∴b=24,
∴直線CD的解析式為:y=-3x+24.
∵OE與直線CD交于點E;
∴E(6,6).
①如圖2:過點E作EQ⊥MN于點Q.M在AB上,N在AD上時,此時0<t≤,S=MN•EQ=×10t×(6-3t)=-15t2+30t

②如圖3:過點E作EQ⊥MN于點Q.M在AB上,N在CD上時,此時<t<2,S=MN•EQ=×5×(6-3t)=-t+15


(3)①如圖4:M在AB上N在AD上時,在Rt△BCM中,可求:BC=,
BM=3-t,
在Rt△CND中,可求:DC=3,
DN=-3t,
∴根據(jù)勾股定理,得
CM2=CN2,即+(3-t)2=(32+(-3t)2,
可解t1=0,t2=
∵0<t≤,∴t=

②如圖5:M在AB上,N在CD上時,
此時CM=CN.
在Rt△BCM中,可求:BC=
BM=3-t,
可求CT=-3t,TN=MN=,
tan∠TCN=tan∠OBA=
=,
∴t=1.
綜上所述:t=或t=1時,CM=CN.
點評:本題考查了一次函數(shù)的綜合運用以及三角形的面積計算等知識,重點考查考生利用數(shù)形結(jié)合解題的能力.
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個點,其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點坐標(biāo)為(4,0),D點坐標(biāo)為(0,3),則AC長為
5
5

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如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( �。�

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發(fā),在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達(dá)點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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