Question

【題目】如圖，已知BC⊥AC，圓心O在AC上，點M與點C分別是AC與⊙O的交點，點D是MB與⊙O的交點，點P是AD延長線與BC的交點，且ADAO＝AMAP．

（1）連接OP，證明：△ADM∽△APO；

（2）證明：PD是ΘO的切線；

（3）若AD＝24，AM＝MC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）根據兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明即可；

（2）通過證明OD⊥PA即可；

（3）連接CD，由（1）可知：PC＝PD，由AM＝MC，推出AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，可得R2+242＝9R2，推出R＝6，推出OD＝6，MC＝12，由＝＝，可得DP＝12，再利用相似三角形的性質求出MD即可解決問題．

（1）證明：連接OD、OP、CD．

∵ADAO＝AMAP，

∴＝，∠A＝∠A，

∴△ADM∽△APO．

（2）∵△ADM∽△APO，

∴∠ADM＝∠APO，

∴MD∥PO，

∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，

∵OD＝OM，

∴∠3＝∠4，

∴∠1＝∠2，

∵OP＝OP，OD＝OC，

∴△ODP≌△OCP，

∴∠ODP＝∠OCP，

∵BC⊥AC，

∴∠OCP＝90°，

∴OD⊥AP，

∴PD是⊙O的切線．

（3）連接CD．由（1）可知：PC＝PD，

∵AM＝MC，

∴AM＝2MO＝2R，

在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，

∴R2+242＝9R2，

∴R＝6，

∴OD＝6，MC＝12，

∵＝＝，

∴DP＝12，

∵O是MC的中點，

∴＝＝，

∴點P是BC的中點，

∴BP＝CP＝DP＝12，

∵MC是⊙O的直徑，

∴∠BDC＝∠CDM＝90°，

在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝24，MC＝12，

∴BM＝12，

∵△BCM∽△CDM，

∴＝，即＝，

∴MD＝4，

∴＝＝．