Question

10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸正半軸上，OB的長度為2m，以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB，拋物線l：y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O，A，B三點(diǎn)
（1）當(dāng)m=2時(shí)，a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當(dāng)m=3時(shí)，a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，猜想a與m的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，作x軸的平行線交拋物線l于P、Q兩點(diǎn)，PQ的長度為2n，當(dāng)△APQ為等腰直角三角形時(shí)，a和n的關(guān)系式為a=-$\frac{1}{n}$；
（4）利用（2）（3）中的結(jié)論，求△AOB與△APQ的面積比．

Answer 1

分析 （1）由△AOB為等邊三角形，AB=2m，得出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再由點(diǎn)A，B，O在拋物線上建立方程組，得出結(jié)論，最后代m=2，m=3，求值即可；
（2）同（1）的方法得出結(jié)論
（3）由△APQ為等腰直角三角形，PQ的長度為2n，設(shè)A（e，d+n），∴P（e-n，d），Q（e+n，d），建立方程組求解即可；
（4）由（2）（3）的結(jié)論得到m=$\sqrt{3}$n，再根據(jù)面積公式列出式子，代入化簡即可．

解答 解：（1）如圖1，

∵點(diǎn)B在x軸正半軸上，OB的長度為2m，
∴B（2m，0），
∵以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB，
∴AM=$\sqrt{3}$m，OM=m，
∴A（m，$\sqrt{3}$m），
∵拋物線l：y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O，A，B三點(diǎn)
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×（2m）^{2}+2bm+c=0}\\{a{m}^{2}+bm+c=\sqrt{3}m}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{m}}\\{b=2\sqrt{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$
當(dāng)m=2時(shí)，a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)m=3時(shí)，a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）a=-$\frac{\sqrt{3}}{m}$
理由：如圖1，∵點(diǎn)B在x軸正半軸上，OB的長度為2m，
∴B（2m，0），
∵以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB，
∴AM=$\sqrt{3}$m，OM=m，
∴A（m，$\sqrt{3}$m），
∵拋物線l：y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O，A，B三點(diǎn)
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×（2m）^{2}+2bm+c=0}\\{a{m}^{2}+bm+c=\sqrt{3}m}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{m}}\\{b=2\sqrt{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{m}$，
（3）如圖2，

∵△APQ為等腰直角三角形，PQ的長度為2n，
設(shè)A（e，d+n），∴P（e-n，d），Q（e+n，d），
∵P，Q，A，O在拋物線l：y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a{e}^{2}+be+c=d+n}\\{a（{e-n）}^{2}+b（e-d）^{2}+c=d}\\{a（e+n）^{2}+b（e+n）^{2}+c=d}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a{e}^{2}+be=d+n①}\\{a（e-n）^{2}+b（e-n）=d②}\\{a（e+n）^{2}+b（e+n）=d③}\end{array}\right.$，
①-②化簡得，2ae-an+b=1④，
①-③化簡得，-2ae-an-b=1⑤，
④+⑤化簡得，an=-1，
∴a=-$\frac{1}{n}$
故答案為a=-$\frac{1}{n}$，
（4）∵OB的長度為2m，AM=$\sqrt{3}$m，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB×AM=$\frac{1}{2}$×2m×$\sqrt{3}$m=$\sqrt{3}$m²，
由（3）有，AN=n
∵PQ的長度為2n，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$PQ×AN=$\frac{1}{2}$×2n×n=n²，
由（2）（3）有，a=-$\frac{\sqrt{3}}{m}$，a=-$\frac{1}{n}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{m}$=-$\frac{1}{n}$，
∴m=$\sqrt{3}$n，
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△APQ}}$=$\frac{\sqrt{3}{m}^{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}n）^{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{1}$，
∴△AOB與△APQ的面積比為3$\sqrt{3}$：1．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，方程組的解法，三角形面積的計(jì)算，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)方程組找a與m，及a與n的關(guān)系．也是解本題的難點(diǎn)．