Question

【題目】在中， ，點(diǎn)分別是邊、的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，線段的長(zhǎng)為____________

Answer 1

【答案】或

【解析】

當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，均用三點(diǎn)共線特征及勾股定理求出AE長(zhǎng)為5或3，采用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等證得△CBD∽△ABE，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解.

解：在Rt△ACB中，，

由勾股定理得，AB=,

∵分別是邊、的中點(diǎn),

∴DE是△ACB的中位線，BD=2，BE= ,

∴DE∥AC，DE=

∴∠EDB=90°,

由旋轉(zhuǎn)可得，BD=2，DE=1，BE=，∠BDE=90°,

第一種情況，如圖1，

∵點(diǎn)A，D，E三點(diǎn)共線,

∴∠ADB=90°,

由勾股定理得AD=，

∴AE=AD+DE=5

∵∠ABC=∠DBE,

∴∠CBD=∠ABE,

∵ ,

∴△CBD∽△ABE,

∴,

∴,

∴CD=

第一種情況，如圖2，

∵點(diǎn)A，D，E三點(diǎn)共線,

∴∠ADB=90°,

由勾股定理得AD=，

∴AE=AD-DE=3

∵∠ABC=∠DBE,

∴∠CBD=∠ABE,

∵ ,

∴△CBD∽△ABE,

∴,

∴,

∴CD=

∴CD長(zhǎng)為或.

故答案為：或.