【題目】

如圖,把EFP放置在菱形ABCD中,使得頂點E,F(xiàn),P分別在線段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF=,BAD=60°,且AB>

EPF的大;

AP=8,求AE+AF的值;

EFP的三個頂點E,F,P分別在線段AB,AD,AC上運動,請直接寫出AP長的最大值和最小值.

【答案】(1)120°;(2);(3)AP的最大值為12,AP的最小值為6.

【解析】

試題分析:(1)如圖,過點P作PGEF于G,已知PE=PF=6,EF=,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得FG=EG=,FPG=EPG=.在RtFPG中,由sinFPG=可求得FPG=60°,所以EPF=2FPG=120°.(2)PMABMPNADN,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得DAC=BAC,AM=AN,PM=PN,再利用HL證明RtPMERtPNF,即可得NF=ME.又因AP=10,,所以AM= AN =APcos30°==.所以AE+AF=(AM+ME)+(AN-NF)=AM+AN=.(3)如圖,當(dāng)EFP的三個頂點E,F(xiàn),P分別在線段AB,AD,AC上運動時,點P在,之間運動,易知,所以AP的最大值為12,AP的最小值為6.

試題解析:(1)如圖,過點P作PGEF于G.

PE=PF=6,EF=,

FG=EG=,FPG=EPG=.

在RtFPG中,sinFPG=.

∴∠FPG=60°,

∴∠EPF=2FPG=120°.

(2)作PMABM,PNADN

AC為菱形ABCD的對角線,

∴∠DAC=BAC,AM=AN,PM=PN.

在RtPME和RtPNF 中,PM=PN,PE=PF,

RtPMERtPNF

NF=ME.

又AP=10,

AM= AN =APcos30°==.

AE+AF=(AM+ME)+(AN-NF)=AM+AN=.

(3) 如圖,當(dāng)EFP的三個頂點E,F(xiàn),P分別在線段AB,AD,AC上運動時,點P在,之間運動,易知,,

AP的最大值為12,AP的最小值為6.

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如圖1,當(dāng)點D在線段BC上時,

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②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為: ;(將結(jié)論直接寫在橫線上)

(2)數(shù)學(xué)思考

如圖2,當(dāng)點D在線段CB的延長線上時,結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結(jié)論再給予證明.

(3)拓展延伸

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