Question

6．已知二次三項(xiàng)式ax²+bx+c當(dāng)x=2時(shí)，取得最小值-1；且它的兩根的立方和為24，如果x=-1，那么這個(gè)二次三項(xiàng)式的值是12$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二次三項(xiàng)式ax²+bx+c當(dāng)x=2時(shí)，取得最小值-1；且它的兩根的立方和為24，可以轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的問(wèn)題，從而可以求得a、b、c的值，進(jìn)而可以求得當(dāng)x=-1時(shí)的這個(gè)二次三項(xiàng)式的值，本題得以解決．

解答 解：由題意可得，
令y=ax²+bx+c，當(dāng)x=2時(shí)，有最小值y=-1，設(shè)ax²+bx+c=0時(shí)的兩個(gè)根為x₁，x₂，
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=2}\\{\frac{4ac-^{2}}{4a}=-1}\\{{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=（{x}_{1}+{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}）=24}\end{array}\right.$
又∵${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{a}$，${{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=-6}\\{c=5}\end{array}\right.$
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c=$\frac{3}{2}-（-6）+5=\frac{3}{2}+6+5=12\frac{1}{2}$，
故答案為：12$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確根與系數(shù)的關(guān)系，利用數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題．