Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，3）和點(diǎn)B（3，0），其頂點(diǎn)記為點(diǎn)C．
（1）確定此二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）將直線CB向上平移3個(gè)單位長度，求平移后直線l的解析式；
（3）在（2）的條件下，能否在直線上l找一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)C、B、D、O為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形．若能，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別把點(diǎn)A（0，3）和點(diǎn)B（3，0），代入二次函數(shù)y=x²+bx+c中得b=-4，c=3，求得二次函數(shù)的解析式；
（2）利于平移的性質(zhì)，上加下減可知直線CB向上平移3個(gè)單位長度，求得平移后直線l的解析式；
（3）若四邊形CBDO為等腰梯形，則只能BD=CO，且BC≠DO．設(shè)D（x，x），則利于兩點(diǎn)間的距離公式可得D（1，1）或D（2，2），根據(jù)實(shí)際意義舍去D（1，1）；若四邊形CBOD為等腰梯形，則只能BO=CD，且BC≠DO，同理可得：D（-1，-1）或D（2，2），根據(jù)實(shí)際意義舍去D（-1，-1）；從而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．
解答：解：（1）把A（0，3）和B（3，0），代入y=x²+bx+c，
得：，
解得：，
所以，所求二次函數(shù)的解析式為：y=x²-4x+3
所以，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-1）

（2）由待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式為：y=x-3，
所以，直線l的解析式為：y=x

（3）能．
由直線l∥BC，即OD∥BC，可知：
若四邊形CBDO為等腰梯形，則只能BD=CO，且BC≠DO
∵點(diǎn)D為直線l：y=x上的一點(diǎn)
∴設(shè)D（x，x），則可得：①
解得：x₁=1，x₂=2經(jīng)檢驗(yàn)，x₁=1，x₂=2都是方程①的根
∴D（1，1）或D（2，2）
但當(dāng)取D（1，1）時(shí)，四邊形CBDO為平行四邊形，不合題意，舍去
若四邊形CBOD為等腰梯形，則只能BO=CD，且BC≠DO
同理可得：D（-1，-1）或D（2，2）
但當(dāng)取D（-1，-1）時(shí)，四邊形CBOD為平行四邊形，不合題意，舍去
故所求的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．
點(diǎn)評：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．