Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連接OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連接CF．

1.當∠AOB=30°時，求弧AB的長度；

2.當DE=8時，求線段EF的長；

3.在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.連接BC，

∵A（10，0），∴OA=10，CA=5，

∵∠AOB=30°，

∴∠ACB=2∠AOB=60°，

∴弧AB的長=；（4分）

2.①若D在第一象限，連接OD，

∵OA是⊙C直徑，

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分線，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，

OE==6，

∴AE=AO-OE=10-6=4，

由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴，即，

∴EF=3；（4分）

②若D在第二象限，

連接OD， ∵OA是⊙C直徑，

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分線，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，OE=6，

∴AE=AO+OE=10+6=16，

由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴，即，

∴EF=12；

∴EF=3或12；

3.設OE=x，①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，

當∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC中點，即OE=，

∴E₁（，0）；

當∠ECF=∠OAB時，有CE=5-x，AE=10-x，

∴CF∥AB，有CF=AB，

∵△ECF∽△EAD，

∴，即，解得：x=，

∴E₂（，0）；

②當交點E在點C的右側(cè)時，∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，

連接BE，∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，

∴BE=AB=BD，

∴∠BEA=∠BAO，

∴∠BEA=∠ECF，

∴CF∥BE，∴，

∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，

∴△CEF∽△AED，

∴，

而AD=2BE，

∴，

即，解得x₁=，x₂=＜0（舍去），

∴E₃（，0）；

③當交點E在點O的左側(cè)時，

∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．

∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO

連接BE，得BE=AD=AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA，

∴CF∥BE，

∴，

又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，

∴△CEF∽△AED，∴，

而AD=2BE，∴，

∴，解得x₁=（舍去），x₂=＜0，

∵點E在x軸負半軸上，∴E₄（，0），

綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，

此時點E坐標為：E₁（，0）、E₂（，0）、E₃（，0）、E₄（，0）．（4分）

【解析】（1）連接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC= AO=5，根據(jù)弧長公式求解；

（2）連接OD，由垂直平分線的性質(zhì)得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依題意證明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；

（3）存在．當以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似時，分為①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②當交點E在點C的右側(cè)時，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③當交點E在點O的左側(cè)時，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三種情況，分別求E點坐標