Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系xoy中，有一矩形紙片OABC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB∥x軸，B（3，

3

），現(xiàn)將紙片按如圖折疊，AD，DE為折痕，∠OAD=30度．折疊后，點(diǎn)O落在點(diǎn)O₁，點(diǎn)C落在線段AB點(diǎn)C₁處，并且DO₁與DC₁在同一直線上．
（1）求折痕AD所在直線的解析式；
（2）求經(jīng)過三點(diǎn)O，C₁，C的拋物線的解析式；
（3）若⊙P的半徑為R，圓心P在（2）的拋物線上運(yùn)動(dòng)，⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切時(shí)，求⊙P半徑R的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，也就知道了OA的長，可在直角三角形OAD中，根據(jù)OA的長和∠OAD的度數(shù)求出OD的長，即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式．
（2）本題的關(guān)鍵是求出C1的橫坐標(biāo)，可過C1作x軸的垂線，由于∠ADO=∠AOC1=60°，因此可得出∠C₁DC=60°，因此可在構(gòu)建的直角三角形中用BC的長和∠C₁DC的度數(shù)來求出C₁的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）由于圓P與兩坐標(biāo)軸都相切，如果設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x、y），則有|x|=|y|，進(jìn)而可聯(lián)立拋物線的解析式求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．也就得出了圓的半徑的長．

解答：解：（1）由已知得
OA=

3

，∠OAD=30度．
∴OD=OA•tan30°=

3

×

3

3

=1，
∴A（0，

3

），D（1，0）
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b．
把A，D坐標(biāo)代入上式得：

b= 3 k+b=0

，
解得：

k=- 3 b= 3

，
折痕AD所在的直線的解析式是y=-

3

x+

3

．

（2）過C₁作C₁F⊥OC于點(diǎn)F，
由已知得∠ADO=∠ADO₁=60°，
∴∠C₁DC=60°．
又∵DC=3-1=2，
∴DC₁=DC=2．
∴在Rt△C₁DF中，C₁F=DC₁•sin∠C1DF=2×sin60°=

3

．
則DF=

1

2

DC₁=1，
∴C₁（2，

3

），而已知C（3，0）．
設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)O，C₁，C的拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，（a≠0）．
把O，C₁，C的坐標(biāo)代入上式得：

c=0 4a+2b+c= 3 9a+3b+c=0

，
解得

a=- 3 2 b= 3 3 2 c=0

，
∴y=-

3

2

x²+

3 3

2

x為所求．

（3）設(shè)圓心P（x，y），則當(dāng)⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切時(shí)，有y=±x．
由y=x，得-

3

2

x²+

3 3

2

x=x，解得x₁=0（舍去），x2=3-

2 3

3

．
由y=-x，得-

3

2

x²+

3 3

2

x=-x解得x₁=0（舍去），x2=3+

2 3

3

．
∴所求⊙P的半徑R=3-

2 3

3

或R=3+

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、矩形的性質(zhì)、解直角三角形、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)．