Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=（x＞0）的圖象G經(jīng)過點(diǎn)A（4，1），直線l：y=+b與圖象G交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求k的值；

（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．記圖象G在點(diǎn)A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區(qū)域（不含邊界）為w．

①當(dāng)b=﹣1時(shí)，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）①區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有（1，0），（2，0），（3，0），有3個(gè)；②區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法即可得解；

（2）①根據(jù)題意得到直線解析式，然后求得交點(diǎn)B的坐標(biāo)，畫出圖象即可得解；

②如圖2，直線l在OA的下方時(shí)，當(dāng)直線l：y=x+b過（1，﹣1）時(shí)，即b=﹣，則區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是﹣≤b＜﹣1；如圖3，直線l在OA的上方時(shí)，當(dāng)直線l：y=x +b過（1，2）時(shí)，即b=，當(dāng)直線l：y=x +b過（1，3）時(shí)，即b=，則區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是﹣≤b＜﹣1.

解：（1）把A（4，1）代入y=得，k=4×1=4；

（2）①當(dāng)b=﹣1時(shí)，直線解析式為y=x﹣1，

解方程=x﹣1，

得x1=2﹣2（舍去），x2=2+2，

則B（2+2，），

而C（0，﹣1），

如圖1所示，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有（1，0），（2，0），（3，0），有3個(gè)；

②如圖2，直線l在OA的下方時(shí)，

當(dāng)直線l：y=x+b過（1，﹣1）時(shí)，即b=﹣，

且經(jīng)過（5，0），

∴區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是﹣≤b＜﹣1；

如圖3，直線l在OA的上方時(shí)，

∵點(diǎn)（2，2）在函數(shù)y=（x＞0）的圖象G，

當(dāng)直線l：y=x +b過（1，2）時(shí)，即b=，

當(dāng)直線l：y=x +b過（1，3）時(shí)，即b=，

∴區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是＜b≤．

綜上所述，區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．