Question

11．如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點．
（1）求證：△MBA≌△NDC；
（2）求證：四邊形MPNQ是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和中點的定義，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四邊形MPNQ是菱形，連接AN，有（1）可得到BM=DN，再有中點得到PM=NQ，再通過證明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，從而證明四邊形MPNQ是平行四邊形，利用三角形中位線的性質(zhì)可得：MP=MQ，進而證明四邊形MQNP是菱形

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD，CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠A=∠C}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；

（2）四邊形MPNQ是菱形．
理由如下：連接AP，MN，
則四邊形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
則A，P，N在同一條直線上，
易證：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分別是BM、DN的中點，
∴PM=NQ，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DM=BN}\\{∠MDQ=∠NBP}\\{DQ=BP}\end{array}\right.$，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四邊形MPNQ是平行四邊形，
∵M是AD中點，Q是DN中點，
∴MQ=$\frac{1}{2}$AN，
∴MQ=$\frac{1}{2}$BM，
∵MP=$\frac{1}{2}$BM，
∴MP=MQ，
∴平行四邊形MQNP是菱形．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及平行四邊形的判定和菱形的判定方法，屬于基礎(chǔ)題目．