Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點為M的拋物線是由拋物線y=x²-3向右平移一個單位后得到的，它與y軸負(fù)半軸交于點A，點B在該拋物線上，且橫坐標(biāo)為3．
（1）求點M、A、B坐標(biāo)；
（2）連接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
（3）點P是頂點為M的拋物線上一點，且位于對稱軸的右側(cè)，設(shè)PO與x正半軸的夾角為α，當(dāng)α=∠ABM時，求P點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加寫出平移后的拋物線解析式，然后寫出頂點M的坐標(biāo)，令x=0求出A點的坐標(biāo)，把x=3代入函數(shù)解析式求出點B的坐標(biāo)；
（2）過點B作BE⊥AO于E，過點M作MF⊥AO于M，然后求出∠EAB=∠EBA=45°，同理求出∠FAM=∠FMA=45°，然后求出△ABE和△AMF相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出

AM

AB

，再求出∠BAM=90°，然后根據(jù)銳角的正切等于對邊比鄰邊列式即可得解；
（3）過點P作PH⊥x軸于H，分點P在x軸的上方和下方兩種情況利用α的正切值列出方程求解即可．

解答：解：（1）拋物線y=x²-3向右平移一個單位后得到的函數(shù)解析式為y=（x-1）²-3，
頂點M（1，-3），
令x=0，則y=（0-1）²-3=-2，
點A（0，-2），
x=3時，y=（3-1）²-3=4-3=1，
點B（3，1）；

（2）過點B作BE⊥AO于E，過點M作MF⊥AO于M，
∵EB=EA=3，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
同理可求∠FAM=∠FMA=45°，
∴△ABE∽△AMF，
∴

AM

AB

=

AF

AE

=

1

3

，
又∵∠BAM=180°-45°×2=90°，
∴tan∠ABM=

AM

AB

=

1

3

；

（3）過點P作PH⊥x軸于H，
∵y=（x-1）²-3=x²-2x-2，
∴設(shè)點P（x，x²-2x-2），
①點P在x軸的上方時，

x2-2x-2

x

=

1

3

，
整理得，3x²-7x-6=0，
解得x₁=-

2

3

（舍去），x₂=3，
∴點P的坐標(biāo)為（3，1）；
②點P在x軸下方時，

-(x2-2x-2)

x

=

1

3

，
整理得，3x²-5x-6=0，
解得x₁=

5- 97

6

（舍去），x₂=

5+ 97

6

，
x=

5+ 97

6

時，x²-2x-2=-

1

3

×

5+ 97

6

=-

5+ 97

18

，
∴點P的坐標(biāo)為（

5+ 97

6

，-

5+ 97

18

），
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（3，1）或（

5+ 97

6

，-

5+ 97

18

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了二次函數(shù)圖象與幾何變換，拋物線與坐標(biāo)軸的交點的求法，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，難點在于作輔助線并分情況討論．