Question

（2007•濟寧）某小區(qū)有一長100m，寬80m的空地，現(xiàn)將其建成花園廣場，設計圖案如下，陰影區(qū)域為綠化區(qū)（四塊綠化區(qū)是全等矩形），空白區(qū)域為活動區(qū)，且四周出口一樣寬，寬度不小于50m，不大于60m．預計活動區(qū)每平方米造價60元，綠化區(qū)每平方米造價50元．設每塊綠化區(qū)的長邊為x m，短邊為y m，工程總造價為w元．
（1）寫出x的取值范圍；
（2）寫出y與x的函數(shù)關系式；
（3）寫出w與x的函數(shù)關系式；
（4）如果小區(qū)投資46.9萬元，問能否完成工程任務？若能，請寫出x為整數(shù)的所有工程方案；若不能，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.732）

Answer 1

【答案】分析：本題是用函數(shù)解決實際中的面積問題，造價問題，根據(jù)題意可以列出y與x的一次函數(shù)關系，工程造價w與x二次函數(shù)關系，再利用二次函數(shù)解決實際問題．
（1）由等量關系“活動區(qū)出口的寬度+綠化區(qū)的長的2倍=空地的長”用x將寬度表示出來，再根據(jù)寬度的范圍求得x的取值范圍；
（2）由四周出口一樣寬可得“空地的長-綠化區(qū)的長的2倍=空地的寬-綠化區(qū)的寬的2倍”列出函數(shù)關系式；
（3）由等量關系“總造價=綠化區(qū)的造價+活動區(qū)的造價”列出函數(shù)關系式；
（4）將投資總額w代入函數(shù)關系式求值，分析工程方案．
解答：解：（1）∵50≤100-2x≤60，
∴20≤x≤25；

（2）由于四周出口一樣寬，100-2x=80-2y，即：y=x-10；

（3）w=4xy×50+（100×80-4xy）×60
=480000-40xy
=480000-40x（x-10）
∴w=-40x²+400x+480000；

（4）當w=469000時
-40x²+400x+480000=469000
即x²-10x-275=0解得x₁=5+10，x₂=5-10
∵x＞0
∴x=5+10≈22.32
因為x增大，綠化區(qū)面積會增大，從而活動區(qū)面積會減小，工程總造價會降低，
所以整數(shù)x應滿足22＜x≤25．
所以，能夠完成工程任務，符合條件的所有工程方案有如下三個：
①綠化區(qū)長邊為23m，短邊為13m；
②綠化區(qū)長邊為24m，短邊為14m；
③綠化區(qū)長邊為25m，短邊為15m．
點評：本題考查點實際問題中一次函數(shù)、二次函數(shù)的求法，二次函數(shù)的實際應用．此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．