Question

已知：二次函數(shù)y=x²+2ax-2b+1和y=-x²+（a-3）x+b²-1的圖象都經(jīng)過x軸上兩個不同的點M，N，求a，b的值．

Answer 1

分析：兩個二次函數(shù)圖象都經(jīng)過x軸上兩個不同的點M，N，將兩個解析式轉(zhuǎn)化為一元二次方程，比較兩個方程的根與系數(shù)關(guān)系，得出方程組，解方程組求a、b的值，再結(jié)合方程有兩個不等根進行討論．

解答：解：依題意，設(shè)M（x₁，0），N（x₂，0），且x₁≠x₂，
則x₁，x₂為方程x²+2ax-2b+1=0的兩個實數(shù)根．
∴x₁+x₂=-2a，x₁•x₂=-2b+1，
∵x₁，x₂又是方程-x²+（a-3）x+b²-1=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁+x₂=a-3，x₁•x₂=1-b²，
∴

-2a=a-3 -2b+1=1-b2

解得

a=1 b=0

或

a=1 b=2

當a=1，b=0時，二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，
∴a=1，b=0舍去；
當a=1，b=2時，二次函數(shù)為y=x²+2x-3和y=-x²-2x+3符合題意；
∴a=1，b=2．

點評：本題考查了二次函數(shù)解析式與一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的聯(lián)系．