Question

如圖：將△ABC紙片沿DE折疊成圖①，此時(shí)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部，則∠A與∠1、∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系保持不變，請找出這種數(shù)量關(guān)系并說明理由．
（1）若折成圖②或圖③，即點(diǎn)A落在BE或CD上時(shí)，分別寫出∠A與∠2；∠A與∠1之間的關(guān)系；（不必證明）
（2）若折成圖④，寫出∠A與∠1、∠2之間的關(guān)系式；（不必證明）
（3）若折成圖⑤，寫出∠A與∠1、∠2之間的關(guān)系式．（不必證明）

Answer 1

解：延長BD、CE，交于點(diǎn)P；
則△BCP即為折疊前的三角形，
由折疊的性質(zhì)知：∠DAE=∠DPE．
圖①中：連接AP；
由三角形的外角性質(zhì)知：
∠1=∠DAP+∠DPA，∠2=∠EAP+∠EPA；
則∠1+∠2=∠DAE+∠DPE=2∠DAE，
即∠1+∠2=2∠A．
圖②中：由三角形的外角性質(zhì)知：
∠2=∠DPE+∠DAE=2∠DAE，
即∠2=2∠A．
圖③中：∠1=2∠A，解法同圖②．
圖④中：由三角形的外角性質(zhì)，知：
∠2=∠3+∠P，∠3=∠1+∠A，
即∠2=∠P+∠1+∠A=2∠A+∠1，故∠2-∠1=2∠A．
圖⑤中：∠1-∠2=2∠A，解法同圖④．
故當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部，∠1+∠2=2∠A．
（1）圖②中，∠2=2∠A；圖③中，∠1=2∠A．
（2）圖④中，∠2-∠1=2∠A．
（3）圖⑤中，∠1-∠2=2∠A．
分析：這五個(gè)圖的解法是一致的，首先將畫出折疊前的三角形，設(shè)為△BPC；
圖①中，可連接AP，分別在△ADP、△AEP中，利用三角形的外角性質(zhì)表示出∠1、∠2；兩者相加聯(lián)立折疊的性質(zhì)即可得到所求的結(jié)論．
圖②、③中，可直接利用三角形的外角性質(zhì)得到∠1、∠2的表達(dá)式，聯(lián)立由折疊的性質(zhì)得到到∠A=∠P，即可得出所求的結(jié)論．
圖④、⑤中，設(shè)AE（圖⑤中為AD）與BD（圖⑤中為CE）的交點(diǎn)為F，依然是利用三角形的外角性質(zhì)，得到∠2（圖⑤為∠1）和∠EFP（圖⑤為∠DFE）的表達(dá)式，聯(lián)立兩式，即可求得∠1、∠2、∠A的關(guān)系式．
點(diǎn)評：此題主要考查的是三角形的外角性質(zhì)和圖形的翻折變換，理清圖中角與角的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．