【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+bx﹣的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣3,0)和點(diǎn)B,以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),連接DP,過點(diǎn)P作DP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.

(1)b的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)。
(2)線段AO上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)P不與A、O重合),使得OE的長為1;
(3)在x軸負(fù)半軸上是否存在這樣的點(diǎn)P,使△PED是等腰三角形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積;若不存在,請說明理由.

【答案】解:(1)∵點(diǎn)A(﹣3,0)在二次函數(shù)y=x2+bx﹣的圖象上,
∴0=﹣3b﹣,解得b=1,
∴二次函數(shù)解析式為y=x2+x﹣=(x+3)(x﹣1),
∴點(diǎn)B(1,0),AB=1﹣(﹣3)=4,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=AB=4,
∴點(diǎn)D(﹣3,4),
故答案為:1;(﹣3,4).
(2)直線PE交y軸于點(diǎn)E,如圖1,

假設(shè)存在點(diǎn)P,使得OE的長為1,設(shè)OP=a,則AP=3﹣a,
∵DP⊥AE,∠APD+∠DPE+∠EPO=180°,
∴∠EPO=90°﹣∠APD=∠ADP,
tan∠ADP==,tan∠EPO==
=,即a2﹣3a+4=0,
△=(﹣3)2﹣4×4=﹣7,無解
故線段AO上不存在點(diǎn)P(點(diǎn)P不與A、O重合),使得OE的長為1.
(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,DE交x軸于點(diǎn)M,如圖2,

∵△PED是等腰三角形,
∴DP=PE,
∵DP⊥PE,四邊形ABCD為正方形
∴∠EPO+∠APD=90°,∠DAP=90°,∠PAD+∠APD=90°,
∴∠EPO=∠PDA,∠PEO=∠DPA,
在△PEO和△DAP中,

∴△PEO≌△DAP,
∴PO=DA=4,OE=AP=PO﹣AO=4﹣3=1,
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣4,0).
∵DA⊥x軸,
∴DA∥EO,
∴∠ADM=∠OEM(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),
又∵∠AMD=∠OME(對頂角),
∴△DAM∽EOM,
==,
∵OM+MA=OA=3,
∴MA=×3=
△PED與正方形ABCD重疊部分△ADM面積為×AD×AM=×4×=
答:存在這樣的點(diǎn)P,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,1),此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為
【解析】(1)利用點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上,代入即可求得b,將二次函數(shù)換成交點(diǎn)式,即能得出B點(diǎn)的坐標(biāo),由AD=AB可算出D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)假設(shè)存在,由DP⊥AE,找出∠EPO=∠PDA,利用等角的正切相等,可得出一個(gè)關(guān)于OP長度的一元二次方程,由方程無解可得知不存在這樣的點(diǎn);
(3)利用角和邊的關(guān)系,找到全等,再利用三角形相似,借助相似比即可求得AM,求出△ADM的面積即是所求.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,其對稱軸為x=﹣1,且過點(diǎn)(﹣3,0)下列說法:
①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(2,y2)是拋物線上的兩點(diǎn),則y1>y2
其中說法正確的是( 。

A.①②
B.②③
C.②③④
D.①②④

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,∠BOC=60°,∠AOC=58°.

(1)求出∠AOB及其補(bǔ)角的度數(shù);

(2)①請求出∠DOC和∠AOE的度數(shù);

②判斷∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ),并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在一個(gè)不透明袋子中裝有顏色不同的黑、白兩種球共40個(gè)球,小穎做摸球?qū)嶒?yàn),她將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色,再把它放回盒子中,不斷重復(fù)上述過程.如圖是摸到白球的頻率折線統(tǒng)計(jì)圖:

(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,估算盒子里黑、白兩種顏色的球各多少個(gè)?

(2)如果要使摸到白球的概率為,需要往盒子里再放入多少個(gè)白球?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,過點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為F,DE與AB相交于點(diǎn)E.
(1)求證:ABAF=CBCD;
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是線段DE上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)DP=x cm,梯形BCDP的面積為ycm2
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
②y是否存在最大值?若有求出這個(gè)最大值,若不存在請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:如圖,在ABCD中,BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD,E在AD上,BE=12cm,CE=5cm.求ABCD的周長和面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為1,AC,BD是對角線,將△DCB繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△DGH,HGAB于點(diǎn)E,連接DEAC于點(diǎn)F,連接FG.則下列結(jié)論:

①四邊形AEGF是菱形;②△HED的面積是1﹣;③∠AFG=112.5°;BC+FG=.其中正確的結(jié)論是( 。

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B分別在y軸和x軸上,∠ABO=60°,在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P,使得△PAB是等腰三角形,則符合條件的點(diǎn)P共有( )

A. 3個(gè) B. 4個(gè) C. 5個(gè) D. 6個(gè)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在中,ACB=90°,AC=BC=4,DBC的中點(diǎn), ,垂足為E.過點(diǎn)BBF//ACDE的延長線于點(diǎn)F,連接CF,AF.現(xiàn)有如下結(jié)論:

①BF=2;②;③AD平分∠CAB;④AF=;⑤CAF=CFB.其中正確的結(jié)論是( 。

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④⑤ D. ①②④⑤

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案