Question

如圖，點C為線段AB上任意一點（不與點A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD與∠BCE都是銳角，且∠ACD=∠BCE，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD相交于點P，連接PC．求證：
（1）△ACE≌△DCB；
（2）∠APC=∠BPC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由已知可得∠ACE=∠DCB，然后根據(jù)SAS即可證明△ACE≌△DCB；
（2）由（1）證得的△ACE≌△DCB可知AE=BD，根據(jù)全等三角形的面積相等，從而證得AE和BD邊上的高相等，即CH=CG，最后根據(jù)角的平分線定理的逆定理即可證得∠APC=∠BPC．

解答：（1）證明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCE中

CA=CD ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），


（2）證明：如圖，分別過點C作CH⊥AE于H，CG⊥BD于G，
∵△ACE≌△DCB，
∴AE=BD，S_△ACE=S_△DCB，
∴AE和BD邊上的高相等，即CH=CG，
∴∠APC=∠BPC；

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角的平分線定理及其逆定理，本題的關(guān)鍵是借助三角形的面積相等求得對應(yīng)高相等；