【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D,E是BC的中點,連接DE,OE.
(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求證:BC2=2CD·OE;
(3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的長.
【答案】(1)DE為⊙O的切線;證明見解析;(2)證明見解析;(3)
【解析】
試題分析:(1)連接OD,BD,由AB為圓O的直徑,得到∠ADB為直角,可得出三角形BCD為直角三角形,E為斜邊BC的中點,利用斜邊上的中線等于斜邊的一半,得到CE=DE,利用等邊對等角得到一對角相等,再由OA=OD,利用等邊對等角得到一對角相等,由直角三角形ABC中兩銳角互余,利用等角的余角相等得到∠ADO與∠CDE互余,可得出∠ODE為直角,即DE垂直于半徑OD,可得出DE為圓O的切線;
(2)證明OE是△ABC的中位線,則AC=2OE,然后證明△ABC∽△BDC,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,即可證得;
(3)在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的長,根據(jù)三角形中位線定理OE的長即可求得.
試題分析:(1)連接OD,BD,
∵AB為圓O的直徑,
∴∠ADB=90°,
在Rt△BDC中,E為斜邊BC的中點,
∴CE=DE=BE=BC,
∴∠C=∠CDE,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
∵∠ABC=90°,即∠C+∠A=90°,
∴∠ADO+∠CDE=90°,即∠ODE=90°,
∴DE⊥OD,又OD為圓的半徑,
∴DE為⊙O的切線;
(2)∵E是BC的中點,O點是AB的中點,
∴OE是△ABC的中位線,
∴AC=2OE,
∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,
∴△ABC∽△BDC,
∴,即BC2=ACCD.
∴BC2=2CDOE;
(3)∵cos∠BAD=,
∴sin∠BAC=,
又∵BE=6,E是BC的中點,即BC=12,
∴AC=15.
又∵AC=2OE,
∴OE=AC=.
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