Question

20．解方程x⁴-7x²+12=0，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)x²=y，則原方程可變?yōu)閥²-7y+12=0①，解得y₁=3，y₂=4．
當(dāng)y=3時(shí)，x₂=3，∴x=±$\sqrt{3}$；
當(dāng)y=4時(shí)，x₂=4，∴x=±2；
∴原方程有四個(gè)根：x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$，x₃=2，x₄=-2．
（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．
（2）利用上述方法解方程：（x²+x）²+（x²+x）-6=0．

Answer 1

分析 （1）用一個(gè)字母表示一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式的方法叫換元法．
（2）用y代替x²+x即可．

解答 解：（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
故答案是：換元；

（2）設(shè)x²+x=y，原方程可化為y²+y-6=0，
解得y₁=-3，y₂=2．
由x²+x=-3，得x²+x+3=0，
△=1-4×3=-11＜0，此方程無解．
由x²+x=2，得方程x²+x-2=0，
解得：x₁=$\frac{-1+2\sqrt{2}}{2}$，x₂=$\frac{-1-2\sqrt{2}}{2}$．
所以原方程的解為x₁=$\frac{-1+2\sqrt{2}}{2}$，x₂=$\frac{-1-2\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了換元法，即把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，實(shí)行等量替換．