Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CB，CA延長線上的點，BE與AD的交點為P.

（1）若BD=AC，AE=CD，在圖1中畫出符合題意的圖形，并直接寫出∠APE的度數(shù)；
（2）若，，求∠APE的度數(shù).

Answer 1

解：（1）如圖9，∠APE=" " 45  °. ……………………2分
 （2）解法一：如圖10，將AE平移到DF，連接BF，EF．……………3分

則四邊形AEFD是平行四邊形．
∴ AD∥EF，AD=EF．
∵ ，，
∴ ，．
∴ ．……………………………………………………4分
∵ ∠C=90°，
∴ ．
∴ ∠C=∠BDF．
∴ △ACD∽△BDF．………………5分
∴ ，∠1=∠2．
∴ ．
∵ ∠1+∠3=90°，
∴ ∠2+∠3=90°．
∴ BF⊥AD ．
∴ BF⊥EF．…………………………………………………………6分
∴ 在Rt△BEF中，．
∴ ∠APE=∠BEF =30°．…………………………………………7分[來
解法二：如圖11，將CA平移到DF，連接AF，BF，EF．………………3分

則四邊形ACDF是平行四邊形．
∵ ∠C=90°，
∴ 四邊形ACDF是矩形，∠AFD=∠CAF= 90°，∠1+∠2=90°．
∵ 在Rt△AEF中，，
在Rt△BDF中，，
∴ ．
∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°．
∴ ∠AFD=∠EFB． …………………4分
又∵ ，
∴ △ADF∽△EBF． …………………………………5分
∴ ∠4=∠5．………………………………………6分
∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，
   ∴ ∠APE=∠3=30°．………………………7分

解析