Question

2．已知一次函數(shù)y₁=x+5的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并直接寫出當(dāng)y₁＜y₂時(shí)x的取值范圍；
（3）當(dāng)x＞1時(shí)，在反比例圖象上有一點(diǎn)C，使得△ABC的面積為21，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A在直線y₁=x+5的圖象上，可求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出結(jié)論；
（2）將一次函數(shù)解析式代入到反比例函數(shù)解析式中得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，將其代入到反比例函數(shù)解析式中即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；結(jié)合兩函數(shù)圖象即可得出當(dāng)y₁＜y₂時(shí)x的取值范圍；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CD∥y軸交直線AB于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，$\frac{6}{m}$）（m＞1），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m+5），根據(jù)S_△ABC=S_△BCD-S_△ACD=21即可得出關(guān)于m的方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出m的值，將其代入點(diǎn)C的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令一次函數(shù)y₁=x+5中x=1，
則y₁=1+5=6，
∴k=x•y₁=1×6=6．
∴反比例函數(shù)的解析式為y₂=$\frac{6}{x}$．
（2）將y₁=x+5代入到y(tǒng)₂=$\frac{6}{x}$中得：
x+5=$\frac{6}{x}$，即x²+5x-6=0，
解得：x₁=-6，x₂=1．
當(dāng)x=-6時(shí)，y₂=$\frac{6}{-6}$=-1．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，-1）．
結(jié)合函數(shù)圖象可知：
當(dāng)x＜-6或0＜x＜1時(shí)，y₁＜y₂，
∴當(dāng)y₁＜y₂時(shí)x的取值范圍為x＜-6或0＜x＜1．
（3）過(guò)點(diǎn)C作CD∥y軸交直線AB于點(diǎn)D，如圖所示．
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，$\frac{6}{m}$）（m＞1），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m+5）．
∵點(diǎn)A（1，6），點(diǎn)B（-6，-1），
∴S_△ABC=S_△BCD-S_△ACD=$\frac{1}{2}$（m+5-$\frac{6}{m}$）[m-（-6）-（m-1）]=21，
整理得：m²-m-6=0，
解得：m=3或m=-2（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)m=3是原方程的解，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形的面積公式以及解分式方程，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）解關(guān)于x的一元二次方程求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；（3）解關(guān)于m的方程求出m的值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，將一次函數(shù)解析式代入到反比例函數(shù)解析式中，得出關(guān)于x的一元二次方程，解該方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．