Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，⊙O₁與x軸交于A、B兩點，與y軸正半軸交于C點，已知A（-1，0），O₁（1，0）
（1）求出C點的坐標；
（2）過點C作CD∥AB交⊙O₁于D，若過點C的直線恰好平分四邊形ABCD的面積，求出該直線的解析式；
（3）如圖，已知M（1，），經過A、M兩點有一動圓⊙O₂，過O₂作O₂E⊥O₁M于E，若經過點A有一條直線y=kx+b（k＞0）交⊙O₂于F，使AF=2O₂E，求出k、b的值．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，0），O₁（1，0），
∴OA=OO₁又O₁A=O₁C，
∴易知△O₁AC為等邊三角形，
∴易求C點的坐標為（0，）．

（2）解法一：連接AD；
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴，
∴AC=BD又AC不平行BD，
∴四邊形ABCD為等腰梯形，
過D作DH⊥AB于H；
∴△AOC≌△BDH，四邊形COHD為矩形，
∴CH必平分四邊形ABCD的面積，
易求CH的解析式：；
解法二：設直線CH平分四邊形ABCD的面積，并設H（x，0），連接AD，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴，
∴AC=BD=2，
∵S_△ACH=S_梯形CDBH，
∴，
∴x+1=5-x，
∴x=2，由C（0，）和H（2，0），
易求CH的解析式：．

（3）證法一：分別延長MO₁，MO₂交⊙O₂于P，N，連接PN；
∴PN=2O₂E，
連接MA，MF，AN；
∵A（-1，0），M（1，），
∴∠MAO₁=60°，∠AMO₁=30°，
∴∠NAO₁=30°，
∵AF=2O₂E=PN，
∴∠FMA=∠PMN，
∴∠PMN+∠PMF=∠FMA+∠PMF=∠AMO₁=30°，
∴∠FMN=∠PMA=∠FAN=30°，
∴∠FAO₁=60°，
∴易求AF的解析式為，
∴k=，b=．
分析：（1）易得△O₁AC為等邊三角形，可求出OC的長．
（2）利用等腰梯形可化為一個矩形和兩個直角三角形，只要平分矩形的面積即可，易找到平分線，用待定系數法求其解析式．
（3）從AF=2O₂E找到突破口，過M點作直徑和弦，通過坐標的特點證出∠FAO=60°，從而求出AF的解析式．
點評：求直線的解析式必須找到它上面兩個點的坐標．記住垂徑定理及其推論．同時要充分利用特殊角在幾何證明中的作用．