Question

（2012•延慶縣二模）（1）如圖1：在△ABC中，AB=AC，當(dāng)∠ABD=∠ACD=60°時(shí)，猜想AB與BD+CD數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果

AB=BD+CD

；
（2）如圖2：在△ABC中，AB=AC，當(dāng)∠ABD=∠ACD=45°時(shí)，猜想AB與BD+CD數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3：在△ABC中，AB=AC，當(dāng)∠ABD=∠ACD=β（20°≤β≤70°）時(shí)，直接寫(xiě)出AB與BD+CD數(shù)量關(guān)系（用含β的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)BD至E，使BE=AB，連接AE、CE，然后證明△ABE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AE=AB，∠AEB=60°，然后證明∠DCE=∠DEC，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得DE=CD，從而得到BE=BD+CD，再根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等得解；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE，然后證明△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AE，∠AEB=45°，然后證明∠DCE=∠DEC，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得DE=CD，從而得到BE=BD+CD，再根據(jù)等腰直角三角形斜邊與直角邊的關(guān)系得解；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BD到E，使EF=BF，連接AE、CE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AB=AE，然后證明∠DCE=∠DEC，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得DE=CD，從而得到BE=BD+CD，再根據(jù)∠ABD的余弦等于鄰邊比斜邊列式整理即可得解．

解答：解：（1）如圖1，延長(zhǎng)BD至E，使BE=AB，連接AE、CE，
∵∠ABD=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE=AB，∠AEB=60°，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
即∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴BE=BD+DE=BD+CD，
∴AB=BD+CD；
故答案為：AB=BD+CD；

（2）猜想：AB=

2

2

（BD+CD）．
理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE，
∵∠ABD=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，∠AEB=45°，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACD=45°，
∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
即∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴BE=BD+DE=BD+CD，
在Rt△ABE中，AB=BE•cos∠ABD=（BD+CD）•cos45°=

2

2

（BD+CD），
即AB=

2

2

（BD+CD）；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BD到E，使EF=BF，連接AE、CE，
則AE=AB（等腰三角形三線合一），
∴∠AEB=∠ABD=β，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACD=β，
∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
即∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴BE=BD+DE=BD+CD，
在Rt△ABF中，AB•cos∠ABD=

1

2

BE，
即AB•cosβ=

1

2

（BD+CD）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)角度的不同，作輔助線構(gòu)造出等腰△ACE，把BD+CD轉(zhuǎn)化為BE是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．