Question

【題目】已知關(guān)于x的方程x2+mx+m﹣2=0．
（1）求證：無論m取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1 ， x2 ， 且滿足x12+x22=﹣3x1x2 ， 求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，

∴不論m取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）解：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣2，

∵x12+x22=﹣3x1x2，

∴ ﹣2x1 x2=﹣3x1 x2

∴ =﹣x1 x2

∴m2=2﹣m，

∴m2+m﹣2=0，

∴（m+2）（m﹣1）=0，

∴m=﹣2或1

【解析】（1）先計(jì)算△=m2﹣4（m﹣2）=m2﹣4m+8，配方得到△=（m﹣2）2+4，由于（m﹣2）2≥0，則（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，根據(jù)△的意義即可得到無論m取何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合等式x12+x22=﹣3x1x2即可求解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解求根公式的相關(guān)知識(shí)，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，以及對(duì)根與系數(shù)的關(guān)系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商．