Question

17．已知二次函數(shù)y₁=ax²+4x+b與y₂=bx²+4x+a都有最小值，記y₁、y₂的最小值分別為m、n．
（1）若m+n=0，求證：對任意的實數(shù)x，都有y₁+y₂≥0；
（2）若m，n均為大于0，且mn=2，記M為m，n中的最大者，求M的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以用用含a，b的代數(shù)式表示m、n，然后根據(jù)m+n=0，可以解答本題；
（2）根據(jù)題意可以用用含a，b的代數(shù)式表示m、n，然后根據(jù)mn=2，記M為m，n中的最大者，可以求得M的最小值．

解答 解：（1）∵y₁=ax²+4x+b=a（x+$\frac{2}{a}$）²+$\frac{ab-4}{a}$，
∴m=$\frac{ab-4}{a}$，
∵y₂=bx²+4x+a=b（x+$\frac{2}$）²+$\frac{ab-4}$，
∴n=$\frac{ab-4}$，
∵m+n=0，
∴$\frac{ab-4}{a}$+$\frac{ab-4}$=0，即（ab-4）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=0，
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}$＞0，
∴ab-4=0，即ab=4，
∴m=n=0，
∵y₁、y₂的最小值分別為m、n，
∴y₁+y₂≥m+n=0，
∴y₁+y₂≥0；
（2））∵y₁=ax²+4x+b=a（x+$\frac{2}{a}$）²+$\frac{ab-4}{a}$，
∴m=$\frac{ab-4}{a}$，
∵y₂=bx²+4x+a=b（x+$\frac{2}$）²+$\frac{ab-4}$，
∴n=$\frac{ab-4}$，
∵mn=2，
∴$\frac{ab-4}{a}$•$\frac{ab-4}$=2，
解得，ab=2或ab=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{-2}{a}}\\{n=\frac{-2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{a}}\\{n=\frac{4}}\end{array}\right.$，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{-2}{a}}\\{n=\frac{-2}}\end{array}\right.$時，
若a＞b，則m＞n，M=$\frac{-2}{a}$，
若a＜b，則m＜n，M=$\frac{-2}$；
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{a}}\\{n=\frac{4}}\end{array}\right.$，
若a＞b，則m＜n，M=$\frac{4}$，
若a＜b，則m＞n，M=$\frac{4}{a}$；
由上可得，當(dāng)a＞b時，M的最小值是$\frac{-2}{a}$；
當(dāng)a＜b時，M的最小值是$\frac{-2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以將函數(shù)的一般式化為頂點式，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．