Question

【題目】（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF.

①寫出線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系；

②寫出直線CF與DG所夾銳角的度數(shù).

（2）拓展探究：

如圖②，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②進(jìn)行說明.

（2）問題解決

如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=4，O為AC的中點(diǎn).若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動，連接OE，則在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，線段OE的長的最小值.（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）①易得CF=DG;②45；

(2) （1）中的結(jié)論仍然成立,證明見詳解；

(3).

【解析】

（1）①易得CF=DG;

②45；

(2) 連接AC、AF,在正方形ABCD中，可得△CAF∽DAG，=,CF=DG，

在△CHD中，∠CHD=180-135=45，（1）中的結(jié)論是否仍然成立；

（3）OE⊥CE時，OE最短，此時OE=CE,△OEC為等腰直角三角形，OC=AC=2,可得OE的值.

（1）①易得CF=DG;

②45；

(2)①

連接AC、AF,在正方形ABCD中，延長CF交DG與H點(diǎn)，

∠CAD=∠BCD=45,

設(shè)AD=CD=a，易得AC=a=AD,

同理在正方形AEFG中，∠FAG=45,AF=AG,

∠CAD=∠FAG, ∠CAD-∠2=∠FAG-∠2,

∠1=∠3

又

△CAF∽DAG,

=,CF=DG;

②由△CAF∽DAG，∠4=∠5，

∠ACD=∠4+∠6=45, ∠5+∠6=45，

∠5+∠6+∠7=135，

在△CHD中，∠CHD=180-135=45，

（1）中的結(jié)論是否仍然成立

（3）

由∠BAC=∠DAE=90,可得∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE,

可得△BAD≌△CAE,

∠ACE=∠ABC=45,

又∠ACB=45,∠BCE=90,即CE⊥BC,

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，

OE⊥CE時，OE最短，此時OE=CE,△OEC為等腰直角三角形，

OC=AC=2,

由等腰直角三角形性質(zhì)易得，OE=，

OE的最小值為.