Question

 在平面直角坐標系xOy中，已知兩點A(0，3)，B(1，0)，現(xiàn)將線段AB繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BC，拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)經過點C.

（1）如圖1，若該拋物線經過原點O，且.

①求點C的坐標及該拋物線的表達式；

②在拋物線上是否存在點P，使得∠POB=∠BAO. 若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（2）如圖2，若該拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)經過點D(2，1)，點Q在拋物線上，且滿足∠QOB=∠BAO. 若符合條件的Q點的個數(shù)是4個，請直接寫出a的取值范圍.

Answer 1

解：（1）①如圖1，過點C作CD⊥x軸于點D.

             ∴.

             ∵∠ABC=90º，

             ∴.

又∵，

∴.

∵AB=BC，

∴△AOB≌△BDC. 

∴BD=OA，CD=OB.

∵A(0，3)，B(1，0)，

∴C(4，1).    

∵拋物線y=ax²+bx+c經過原點O，且，

∴.   

又∵拋物線經過點C(4，1)，

∴.

∴該拋物線的表達式為.    

② 當點P在第一象限時，過點P作PG⊥x軸于點G,連接OP.

∵∠POB=∠BAO，

∴.

設P(3m，m)，m>0.  

∵點P在上，

∴. 

解得：，(舍去).

∴.

當點P在第四象限時，同理可求得.  

當點P在第二、三象限時，∠POB為鈍角，不符合題意.

綜上所述，在拋物線上存在使得∠POB=∠BAO的點P，點P的坐標為或.

（2）的取值范圍為或.