Question

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，△ABC的內(nèi)切圓O分別與邊BC，CA，AB相切于點D，E，F(xiàn)，連接AD，與內(nèi)切圓O相交于點P，連接BP，CP，若∠BPC=90°，求證：AE+AP=PD．

Answer 1

證明：設AE=AF=x，BD=BF=y，CD=CE=z，AP=m，PD=n．
因為∠ACP+∠PCB=90°=∠PBC+∠PCB，所以∠ACP=∠PBC．
延長AD至Q，使得∠AQC=∠ACP=∠PBC，連接BQ，CQ，則P，B，Q，C四點共圓，令DQ=l，
則由相交弦定理和切割線定理可得yz=nl，①x²=m（m+n）．②
因為△ACP∽△AQC，所以，
故（x+z）²=m（m+n+l）．③
在Rt△ACD和Rt△ACB中，由勾股定理得（x+z）²+z²=（m+n）²，④
（y+z）²+（z+x）²=（x+y）²．⑤
③-②，得z²+2zx=ml，⑥
①÷⑥，得，
所以，⑦
②×⑦，結合④，得，
整理得．⑧
又⑤式可寫為，⑨
由⑧，⑨得⑩
又⑤式還可寫為，
把上式代入⑩，消去y+z，得3x²-2xz-2z²=0，
解得，代入得，，
將上面的x，y代入④，得，
結合②，得，
從而，
所以，x+m=n，即AE+AP=PD．
分析：延長AD至Q，使得∠AQC=∠ACP=∠PBC，連接BQ，CQ，利用相交弦定理和切割線定理即可利用CD表示出AE與AP、PD的長，即可證明．
點評：本題是相交弦定理，切割線定理的綜合應用，正確利用CD表示出AE與AP、PD的長是解題的關鍵．