Question

【題目】如圖，已知AM∥BN，∠A=60°．點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C，D．

（1）求∠CBD的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD時(shí)，∠ABC的度數(shù)是　 　．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）不變化，∠APB=2∠ADB，證明詳見解析；（3）30°．

【解析】試題分析：（1）已知AM∥BN，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠A+∠ABN=180°，從而求得ABN=120°；已知BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，根據(jù)角平分線的定義可得∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠NBP，所以∠CBD=∠ABN=60°；（2）不變化，∠APB=2∠ADB，已知AM∥BN，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN；由BD平分∠PBN，根據(jù)角平分線的定義可得∠PBN=2∠DBN，即可得∠APB=2∠ADB；（3）由AD∥BN，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可得∠ACB=∠CBN；又∠ACB=∠ABD，可得∠CBN=∠ABD，所以∠ABC=∠DBN；

由（1）可得，∠CBD=60°，∠ABN=120°，即可求得∠ABC=（120°﹣60°）=30°.

試題解析：

（1）∵AM∥BN，

∴∠A+∠ABN=180°，

∵∠A=60°，

∴∠ABN=120°，

∵BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠NBP，

∴∠CBD=∠ABN=60°；

（2）不變化，∠APB=2∠ADB，

證明：∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，

∠ADB=∠DBN，

又∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN=2∠DBN，

∴∠APB=2∠ADB；

（3）∵AD∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

又∵∠ACB=∠ABD，

∴∠CBN=∠ABD，

∴∠ABC=∠DBN，

由（1）可得，∠CBD=60°，∠ABN=120°，

∴∠ABC=（120°﹣60°）=30°，

故答案為：30°．