Question

【題目】已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），將△CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CEF，其中點(diǎn)E是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，G是邊AB上一點(diǎn)，且BG=AD，連接GF．求證：GF∥AC；

（2）如圖2，當(dāng)90°≤α≤180°時(shí)，AE與DF相交于點(diǎn)M．

①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C、D不重合時(shí)，連接CM，求∠CMD的度數(shù)；

②設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)α從90°變化到180°時(shí)，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①135°；②．

【解析】

試題分析：（1）欲證明GF∥AC，只要證明∠A=∠FGB即可解決問題．

（2）①先證明A、D、M、C四點(diǎn)共圓，得到∠CMF=∠CAD=45°，即可解決問題．

②利用①的結(jié)論可知，點(diǎn)M在以AC為直徑的⊙O上，運(yùn)動(dòng)路徑是弧CD，利用弧長(zhǎng)公式即可解決問題．

試題解析：（1）如圖1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF是由△CAD旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針α得到，α=90°，∴CB與CE重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF∥AC．

（2）①如圖2中，∵CA=CE，CD=CF，∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，∵∠ACD=∠ECF，∴∠ACE=∠CDF，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF，∴A、D、M、C四點(diǎn)共圓，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．

②如圖3中，O是AC中點(diǎn)，連接OD、CM．

∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四點(diǎn)共圓，∴當(dāng)α從90°變化到180°時(shí)，點(diǎn)M在以AC為直徑的⊙O上，運(yùn)動(dòng)路徑是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的長(zhǎng)==，∴當(dāng)α從90°變化到180°時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．