Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，以A為圓心，AD為半徑作圓并交邊AC、AB于M、E，CE的延長(zhǎng)線交⊙A于點(diǎn)F，且CM=2，AB=4．
（1）求⊙A的半徑；
（2）聯(lián)結(jié)AF，求弦EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）在RT△ADC中用勾股定理求半徑．
（2）過(guò)A作AH⊥EF，垂足為H，用勾股定理求出CE，再運(yùn)用△BEC∽△HEA，求出EH再求弦EF．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，
∴∠ADC=90°，AB=CD=4，
∴AC²=AD²+CD²，
∵以A為圓心，AD為半徑作圓并交邊AC于M，
∴AD=AM，
又∵CM=2，設(shè)⊙A的半徑為x，
∴（2+x）²=x²+4²
∴x=3，
即：⊙A的半徑為3；
（2）過(guò)A作AH⊥EF，垂足為H，

∵矩形ABCD，AD=3，
∴∠B=90°，AD=BC=AE=3，
∴BE=4-3=1，CE²=BC²+BE²
∴CE=

10

，
∵∠B=90°，AH⊥EF，
∴∠B=∠AHE=90°，
又∵∠BEC=∠FEA，
∴△BEC∽△HEA．
∴

BE

EH

=

CE

AE

，
∴EH=

3

10

10

，
∵AH⊥EF，且AH過(guò)圓心，
∴EF=2EH=

3

5

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)及圓的有關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用相似三角形求線段的長(zhǎng)．