Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B為正比例函數(shù)y=kx（k＞0）與反比例函數(shù)y=（m≠0）的交點，過點A作AC平行于x軸，過點B作BC平行于y軸，AC與y軸交于點M，BC與x軸交于點N，若∠BAC=60°，AB=4，
（1）求k與m的值；
（2）將一把三角尺的直角頂點放在原點O處，繞著點O旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊分別交射線CA、射線BC于點P、Q，設(shè)點P的橫坐標為x，PQ的長為L，當點p在邊AC上運動時，求L與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當△PQC的面積為時，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖形的對稱性可知點A、B關(guān)于原點對稱，
∵∠BAC=60°，AB=4，
∴∠BON=60°，OB=AB=2，
∴在△BON中，ON=OBcos60°=1，BN=OBsin60°=，
∴點B的坐標是（1，），點A的坐標為（-1，-），
∴k×1=，=，
解得k=，m=；

（2）∵∠QON+∠NOP=90°，∠MOP+∠NOP=90°，
∴∠QON=∠MOP，
又∵∠OMP=∠ONQ=90°，
∴△OMP∽△OQN，
∴=，
即=，
解得QN=x，
在Rt△PCQ中，L===；
∴L與x的函數(shù)關(guān)系式為L=；

（3）S_△PQC=PC×CQ=（1-x）（x+）=，
整理得x²+2x=0，
解得x₁=0或x₂=-2，
此時點P的坐標為（0，-）或（-2，-）．
分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知點A、B關(guān)于原點對稱，所以O(shè)B=2，然后在△BON中，求出ON、BN的長度，坐標可得，再代入兩函數(shù)解析式即可求出k、m的值；
（2）先證明△OMP與△OQN相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，用x表示出ON，在△PQC中，利用勾股定理即可得到L與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用三角形的面積公式，△PQC的面積=PC×CQ，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可求出x的值，則點P的坐標可得．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形對應(yīng)邊成比例，勾股定理，綜合性較強，難度較大．