Question

3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，連接PB，PD分別交CD于M，交AB于點N，且CM=BM，
（1）求證：CB∥PD；
（2）若BC=5，sin∠BPD=$\frac{3}{5}$，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出∠P=∠C，然后根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連接AC，根據(jù)垂徑定理及圓周角定理得到∠P=∠A，∠ACB=90°，則sinA=sinP，然后根據(jù)正弦的定義得到=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，得出AB的長即可．

解答 （1）證明：∵CM=BM，
∴∠C=∠CBM，
∵∠C=∠P，
∴∠P=∠CBM，
∴CB∥PD；
（2）解：連接AC，如圖所示
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴∠BPD=∠A，
∴sinA=sin∠BPD=$\frac{3}{5}$，
又∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{5}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
解得：AB=$\frac{25}{3}$，
即⊙O的直徑為$\frac{25}{3}$．

點評 本題考查了圓的綜合題：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角；垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的�。贿\用相似三角形的判定與性質(zhì)證明線段之間的關(guān)系；運用正弦的定義進行幾何計算．