證明：欲證①成立，先考慮最簡(jiǎn)單的情形，設(shè)n=3，即證
+
+
≥a
1+a
2+a
3…②
把②變形為
（
-a1）
2+（
-a2）
2+（
-a3）
2≥0…③
即證
(a1-a2)+
(a2-a3)+
(a3-a1)≥0…④
由于④中左邊有（a
1-a
2），（a
2-a
3），（a
3-a
1），其和為零，因此，我們猜想：若④式左邊相加，其和不小于（a
1-a
2），（a
2-a
3），（a
3-a
1）之和即可．為此，我們證更簡(jiǎn)單的事實(shí)．
設(shè)a，b是任意正整數(shù)，則有
(a-b)≥(a-b)…⑤
事實(shí)上，由（a-b）
2≥0有
a
2-ab≥ab-b
2，
所以a（a-b）≥b（a-b）
所以
≥（a-b）
根據(jù)⑤，④顯然成立，因?yàn)?br>
(a1-a2)+
(a2-a3)+
(a3-a1)≥（a
1-a
2）+（a
2-a
3）+（a
3-a
1）≥0，
從而③式成立，②式成立．
剩下來的工作是把②式推到一般情形①，這是很容易的．因?yàn)楦鶕?jù)⑤，①式必然成立，因?yàn)?br>
(a1-a2)+(a2-a3)+…+
(an-1-a2)+
(an-a1)≥（a
1-a
2）+（a
2-a
3）+…+（a
n-1-a
n）+（a
n-a
1）=0
