Question

設a₁，a₂，…，a₁₉₉₅是1，2，3…，1995的任意一種排列，求證：（1-a₁）（2-a₂）…（1995-a₁₉₉₅）
必為偶數．

Answer 1

分析：分析該題如果直接入手，沒法證明，因而采用反證法．假設結果為奇數，通過已知條件，運用整數的奇偶性，推證與假設矛盾，最終問題得解．

解答：證明：假設結果為奇數
則（1-a₁），（2-a₂），…，（1995-a₁₉₉₅）必須都為奇數．
則（1-a₁）+（2-a₂）+…+（1995-a₁₉₉₅）必為奇數．
而1-a₁+2-a₂+…+1995-a₁₉₉₅是偶數
∴矛盾于假設，即（1-a₁）（2-a₂）…（1995-a₁₉₉₅）為偶數．
∴（1-a₁）（2-a₂）…（1995-a₁₉₉₅）必為偶數．

點評：本題考查整數的奇偶性問題．采用的方法是反證法，反證法是“間接證明法”一類，是從反面的角度的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而得出矛盾．