Question

若非零整數(shù)n使得

25 2 + 625 4 -n

+

25 2 - 625 4 -n

的值也是整數(shù)，則n=

 

．

Answer 1

分析：設(shè)A=

25 2 + 625 4 -n

，B=

25 2 - 625 4 -n

，則 A²+B²=25，再由其他條件分析即可求出n的值．

解答：解：設(shè)A=

25 2 + 625 4 -n

，B=

25 2 - 625 4 -n

∴A²+B²=50，
  由題，A+B∈Z+，設(shè)A+B=m
∴（A+B）²-（A²+B²）=m²-25=2AB也是整數(shù)
∴2AB=2

n

     
設(shè)2

n

=t （∈Z+）
代入（A+B）²-（A²+B²）=2AB得
（A+B）²=2AB+（A²+B²）=2

n

+25=m²是完全平方數(shù)
 n＜

625

4

，2

n

＜2×

25

2

=25，
∴25＜m²＜25+25=50
故m²=49，n=144
故答案為144．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，在運(yùn)算時(shí)要注意：一定要先化簡(jiǎn)再代入求值；二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．