Question

9．如圖，∠AOB=α°，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=6cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，若△PMN周長的最小值是6cm，則α的值是（　�。�

• A． 15
• B． 30
• C． 45
• D． 60

Answer 1

分析 分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=$\frac{1}{2}$∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結果．

解答 解：分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，
分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：
∵點P關于OA的對稱點為D，關于OB的對稱點為C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵點P關于OB的對稱點為C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=$\frac{1}{2}$∠COD，
∵△PMN周長的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN=6，
∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故選：B．

點評 本題考查了軸對稱的性質(zhì)、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵．