Question

【題目】如圖，點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，8），點(diǎn)C是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在x軸正半軸上，四邊形OEDC是矩形，且OE=2OC．設(shè)OE=t(t>0)，矩形OEDC與△AOB重合部分的面積為S．根據(jù)上述條件，回答下列問題：

（1）當(dāng)矩形OEDC的頂點(diǎn)D在直線AB上時(shí)，t= ；

（2）當(dāng)t=4時(shí)，直接寫出S的值；

（3）求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）若S=12，則t= ．

Answer 1

【答案】（1）t=（2） 7（3）（4）8

【解析】試題分析：（1）證明△BCD∽△BOA，利用線段比求出t值．（2）當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)E與A重合，證明△CBF∽△OBA求出CF．（3）根據(jù)t的取值范圍求出S的值．(4) 由題意可知把S=12代入S= t2+2t中, t2+2t=12,整理，得t2-32t+192=0.解得 t1=8,t2=24>16（舍去）當(dāng)S=12時(shí)，t=8．

試題解析：

（1）由題意可得∠BCD=∠BOA=90°，∠CBD=∠OBA，

∴△BCD∽△BOA，

∴

而CD＝OE＝t，BC＝8CO＝8 ，OA＝4，

則8 ，解得t＝ ，

∴當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上時(shí)，t＝．

（2）（2）當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)E與A重合，設(shè)CD與AB交于點(diǎn)F，

則由△CBF∽△OBA得，

即，解得CF=3，

∴S＝ OC(OE+CF)＝ ×2×(3+4)＝7．

（3）當(dāng)0<t≤時(shí)，S=t2,

當(dāng)<t≤4時(shí)，如圖（2），

∵A(4，0),B(0，8)

∴直線AB的解析式為y=-2x+8，G(t, 2t+8),F(4 ,),

∴DF= 4,DG= 8,

∴S=S矩形COED-S△DFG=t× (

4)( 8)

=-t2+10t-16.

當(dāng)時(shí)，如圖（3）

由∠BFC=∠BAO tan∠BAO=tan∠BFC

=2

∴S=S△BOAS△BCF=×4×8 ×(4-)(8 =

t2+2t.

綜上（4）8

（提示：由題意可知把S=12代入S= t2+2t中, . t2+2t=12,整理，得t2-32t+192=0.解得 t1=8,t2=24>16（舍去）當(dāng)S=12時(shí)，t=8．）

點(diǎn)睛: 本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，相似三角形的判定以及考生的做題能力,解題時(shí)要注意分段函數(shù)．