Question

已知，如圖直線l的解析式為y=x+4，交x、y軸分別于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（-1，3）在直線l上，O為原點(diǎn)．
（1）點(diǎn)N在x軸的負(fù)半軸上，且∠MNO=60°，則AN=______；
（2）點(diǎn)P在y軸上，線段PM繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)60°得到線段PQ，且點(diǎn)Q恰好在直線l上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____．

Answer 1

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OA于H，
∵點(diǎn)M（-1，3），
∴MH=3，OH=1，
∵∠MNO=60°，
∴NH==，
∵直線l的解析式為y=x+4，交x、y軸分別于A、B兩點(diǎn)，
∴A（-4，0），
∴OA=4，
∴AN=OA-OH-NH=4-1-=3-；

（2）如圖2，∵點(diǎn)P在y軸上，線段PM繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)60°得到線段PQ，
∴PM=PQ，∠MPQ=60°，
∴△PMQ是等邊三角形，
∴PQ=PM=MQ，
設(shè)P的坐標(biāo)為（0，b），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（a，a+4），
∵PQ=PM，
∴1+（b-3）²=a²+（a+4-b）²，
∴a²-1=（b-3）²-（a+4-b）²，
∴（a+1）（a-1）=[（b-3）+（a+4-b）][（b-3）-（a+4-b）]，
∴a-1=2b-a-7，
解得：a=b-3，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（b-3，b+1），
∵PM=MQ，
∴1+（b-3）²=[（b-3）-（-1）]²+（b+1-3）²，
即b²-2b-2=0，
解得：b=1+或b=1-，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，1+）或（0，1-）．
故答案為：（1）3-；（2）（0，1+）或（0，1-）．
分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OA于H，由∠MNO=60°，點(diǎn)M（-1，3），利用三角函數(shù)的知識(shí)即可求得NH的長(zhǎng)，又由直線l的解析式為y=x+4，交x、y軸分別于A、B兩點(diǎn)，可求得OA的長(zhǎng)，繼而可求得AN的長(zhǎng)；
（2）由點(diǎn)P在y軸上，線段PM繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)60°得到線段PQ，可得△PMQ是等邊三角形，然后設(shè)P的坐標(biāo)為（0，b），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（a，a+4），利用兩點(diǎn)式可得方程，解方程即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、等邊三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、平方差公式的應(yīng)用以及一元二次方程解法．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．