Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+bx+c的頂點(diǎn)D在直線y=x上運(yùn)動．拋物線與y軸相交于C點(diǎn)．
（1）當(dāng)b=-4時(shí)，求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABD為直角三角形時(shí)，求b，c的值；
（3）線段MN的端點(diǎn)M（-2，4），N（-1，1），若拋物線與線段MN有公共點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式知D（-

b

2

，-

b

2

）．所以把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求得c=6；
（2）利用兩根之和與兩根之積公式、等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出b、c的值；
（3）將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式求得的b的值即為b的最值．

解答：解：∵拋物線y=x²+bx+c的頂點(diǎn)D在直線y=x上運(yùn)動，
∴設(shè)拋物線y=x²+bx+c的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-

b

2

，-

b

2

）．
（1）如圖1，∵點(diǎn)D在拋物線上，
∴-

b

2

=（-

b

2

）²+b•（-

b

2

）+c，即c=-

b

2

+

b2

4

．
又∵b=-4，
c=-

-4

2

+

(-4)2

4

=6，即c=6．
令x=0，則y=c=6，即C（0，6）；

（2）如圖2，連接AD、BD．
∵點(diǎn)A、B是拋物線y=x²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)D是頂點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴在直角△ABD中，∠ADB=90°．
設(shè)A（x₁，0）、B（x₂，0），則x₁+x₂=-b，x₁x₂=c．
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4c

，
則

b2-4c = b 2 c=- b 2 + b2 4

，
解得，

b=8 c=12

，即b，c的值分別是8、12；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M（-1，1）在拋物線y=x²+bx+c上時(shí)，b取最小值，
所以，1=1-b+c，即b=c，
則b=-

b

2

+

b2

4

，解得b=6；
當(dāng)點(diǎn)N（-2，4）在拋物線y=x²+bx+c上時(shí)，b取最大值，所以4=4-2b+c，即2b=c，
則2b=-

b

2

+

b2

4

，解得b=10，
所以b的取值范圍是6≤b≤10．

點(diǎn)評：本題綜合考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．解答（3）題時(shí)，采用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，降低了題的難度．