【題目】如圖乙,△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,點(diǎn)P為射線BD,CE的交點(diǎn).
(1)如圖甲,將△ADE繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn),當(dāng)C、D、E在同一條直線上時,連接BD、BE,則下列給出的四個結(jié)論中,其中正確的是 .
① ② ③ ④
(2)若AB=4,AD=2,把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),
①當(dāng)∠EAC=90°時,求PB的長;
②求旋轉(zhuǎn)過程中線段PB長的最大值.
【答案】(1)①②③;
(2)PB的長為或;
(3)PB長的最大值是.
【解析】分析:(1)①由條件證明△ABD≌△ACE,就可以得到結(jié)論;②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE,就可以得出∠BDC=90°而得出結(jié)論;③由條件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°,由∠DBC+∠ACE=90°,就可以得出結(jié)論;④△BDE為直角三角形就可以得出BE=BD+DE,由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE=2AD,BC=2AB,就有BC=BD+CD2≠BD就可以得出結(jié)論.(2)①分兩種情形a、如圖2中,當(dāng)點(diǎn)E在AB上時,BE=AB-AE=1.由△PEB∽△AEC,得 ,由此即可解決問題.b、如圖3中,當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時,BE=3.解法類似.②如圖5中,以A為圓心AD為半徑畫圓,當(dāng)CE在 A上方與 A相切時,PB的值最大.求出PB即可.
本題解析:(1)①②③
(2)①解:a、如圖2中,當(dāng)點(diǎn)E在AB上時,BE=AB﹣AE=2.
∵∠EAC=90°,∴CE=,
同(1)可證△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.∵∠PEB=∠AEC,∴△PEB∽△AEC.
∴,∴,∴PB=,
b、如圖3中,當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時,BE=6.
∵∠EAC=90°,∴CE=,
同(1)可證△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.∵∠BEP=∠CEA,∴△PEB∽△AEC,
∴,∴,∴PB=,
綜上,PB=或.
②解:如圖5中,以A為圓心AD為半徑畫圓,當(dāng)CE在⊙A上方與⊙A相切時,PB的值最大.
理由:此時∠BCE最大,因此PB最大,(△PBC是直角三角形,斜邊BC為定值,∠BCE最大,因此PB最大)
∵AE⊥EC,∴EC=,
由(1)可知,△ABD≌△ACE,
∴∠ADB=∠AEC=90°,BD=CE=2 ,∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°,
∴四邊形AEPD是矩形,∴PD=AE=2,∴PB=BD+PD=2+2.
綜上所述,PB長的最大值是2+2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).
(1)直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G(如圖1),求證:AE=CG;
(2)直線AH垂直于直線CE,垂足為點(diǎn)H,交CD的延長線于點(diǎn)M(如圖2),找出圖中與BE相等的線段,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,射線OA的方向是北偏東15°,射線OB的方向是北偏西40°,∠AOB=∠AOC,射線OD是OB的反向延長線.
(1)射線OC的方向是___________________;
(2)求∠COD的度數(shù);
(3)若射線OE平分∠COD,求∠AOE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一塊長為a米、寬為b米的長方形空地,現(xiàn)計(jì)劃在這塊空地中間修出兩條互相垂直的寬均為2米的道路(圖中陰影部分),其余部分進(jìn)行綠化.
(1)求出綠地的面積;(用含a、b的代數(shù)式表示)
(2)若a=2b,且道路的面積為116米2 , 求原長方形空地的寬.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)O在線段AB上,點(diǎn)C,D分別是AO,BO的中點(diǎn).
(1)AO=________CO;BO=________DO;
(2)若CO=3cm,DO=2cm,求線段AB的長度;
(3)若線段AB=10,小明很輕松地求得CD=5.他在反思過程中突發(fā)奇想:若點(diǎn)O在線段AB的延長線上,原有的結(jié)論“CD=5”是否仍然成立呢?請幫小明畫出圖形分析,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將點(diǎn)P(2,1)向左平移2個單位后得到P’,則P’的坐標(biāo)是( )
A.(2,3)
B.(2,-1)
C.(4,1)
D.(0,1)
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