Question

【題目】如圖乙，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點．

（1）如圖甲，將△ADE繞點A 旋轉(zhuǎn)，當C、D、E在同一條直線上時，連接BD、BE，則下列給出的四個結(jié)論中，其中正確的是 .

① ② ③ ④

（2）若AB=4，AD=2，把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，

①當∠EAC=90°時，求PB的長；

②求旋轉(zhuǎn)過程中線段PB長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①②③；

（2）PB的長為或；

（3）PB長的最大值是．

【解析】分析：（1）①由條件證明△ABD≌△ACE，就可以得到結(jié)論；②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°而得出結(jié)論；③由條件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出結(jié)論；④△BDE為直角三角形就可以得出BE=BD+DE，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE=2AD，BC=2AB，就有BC=BD+CD2≠BD就可以得出結(jié)論．（2）①分兩種情形a、如圖2中，當點E在AB上時，BE=AB-AE=1．由△PEB∽△AEC，得 ，由此即可解決問題．b、如圖3中，當點E在BA延長線上時，BE=3．解法類似．②如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在 A上方與 A相切時，PB的值最大．求出PB即可．

本題解析：（1）①②③

（2）①解：a、如圖2中，當點E在AB上時，BE=AB﹣AE=2．

∵∠EAC=90°，∴CE=，

同（1）可證△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．

∴，∴,∴PB=,

b、如圖3中，當點E在BA延長線上時，BE=6．

∵∠EAC=90°，∴CE=，

同（1）可證△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC，

∴，∴，∴PB=，

綜上，PB=或．

②解：如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．

理由：此時∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最大，因此PB最大）

∵AE⊥EC，∴EC=，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=2 ，∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四邊形AEPD是矩形，∴PD=AE=2，∴PB=BD+PD=2+2．

綜上所述，PB長的最大值是2+2．