【題目】已知△ABC是等邊三角形,D是BC邊上的一個動點(點D不與B,C重合)△ADF是以AD為邊的等邊三角形,過點F作BC的平行線交射線AC于點E,連接BF.
(1)如圖1,求證:△AFB≌△ADC;
(2)請判斷圖1中四邊形BCEF的形狀,并說明理由;
(3)若D點在BC 邊的延長線上,如圖2,其它條件不變,請問(2)中結(jié)論還成立嗎?如果成立,請說明理由.
【答案】
(1)證明:∵△ABC和△ADF都是等邊三角形,
∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD,
∴∠FAB=∠DAC,
在△AFB和△ADC中,
,
∴△AFB≌△ADC(SAS);
(2)解:由①得△AFB≌△ADC,
∴∠ABF=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,
∴∠ABF=∠BAC,
∴FB∥AC,
又∵BC∥EF,
∴四邊形BCEF是平行四邊形;
(3)解:成立,理由如下:
∵△ABC和△ADF都是等邊三角形,
∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,
又∵∠FAB=∠BAC﹣∠FAE,∠DAC=∠FAD﹣∠FAE,
∴∠FAB=∠DAC,
在△AFB和△ADC中,
,
∴△AFB≌△ADC(SAS);
∴∠AFB=∠ADC.
又∵∠ADC+∠DAC=60°,∠EAF+∠DAC=60°,
∴∠ADC=∠EAF,
∴∠AFB=∠EAF,
∴BF∥AE,
又∵BC∥EF,
∴四邊形BCEF是平行四邊形.
【解析】(1)利用有兩條邊對應(yīng)相等并且夾角相等的兩個三角形全等即可證明△AFB≌△ADC;(2)四邊形BCEF是平行四邊形,因為△AFB≌△ADC,所以可得∠ABF=∠C=60°,進而證明∠ABF=∠BAC,則可得到FB∥AC,又BC∥EF,所以四邊形BCEF是平行四邊形;(3)易證AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,可得∠FAB=∠DAC,即可證明△AFB≌△ADC;根據(jù)△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC,進而求得∠AFB=∠EAF,求得BF∥AE,又BC∥EF,從而證得四邊形BCEF是平行四邊形.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平行四邊形的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
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【題目】二次函數(shù)的圖象如圖所示,則①;②;③;④;⑤4a+2b+c>0;⑥a+b+c>0上述六個結(jié)論中正確的有( )
A. 兩個 B. 三個 C. 四個 D. 五個
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【題目】如圖,用同樣規(guī)格的黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面,請觀察下列圖形并解答有關(guān)問題.
(1)在第n個圖中,第一橫行共_________ 塊瓷磚,第一豎列共有_________ 塊瓷磚;(均用含n的代數(shù)式表示)
(2)設(shè)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為y,請寫出y與(1)中的n的函數(shù)關(guān)系式;
(3)按上述鋪設(shè)方案,鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚,求此時n的值;
(4)黑瓷磚每塊4元,白瓷磚每塊3元,問題(3)中,共花多少元購買瓷磚;
(5)是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形?請通過計算說明理由.
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【題目】如圖,已知直線l1∥l2,且l3和l1,l2分別交于A,B兩點,點P在AB上.
(1)試找出∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系并說出理由;
(2)如果點P在A,B兩點之間運動,問∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系是否發(fā)生變化?
(3)如果點P在A,B兩點外側(cè)運動,試探究∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系(點P和A,B不重合).
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【題目】下列說法正確的是( )
A.對角線相等且互相平分的四邊形是菱形B.對角線垂直且相等的四邊形是正方形
C.兩角分別相等的兩個三角形相似D.兩邊成比例且一角相等的兩個三角形相似
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【題目】某鎮(zhèn)水庫的可用水量為12000萬立方米,假設(shè)年降水量不變,能維持該鎮(zhèn)16萬人20年的用水量.實施城市化建設(shè),新遷入4萬人后,水庫只夠維持居民15年的用水量.
(1)問:年降水量為多少萬立方米?每人年平均用水量多少立方米?
(2)政府號召節(jié)約用水,希望將水庫的保用年限提高到25年,則該鎮(zhèn)居民人均每年需節(jié)約多少立方米才能實現(xiàn)目標(biāo)?
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【題目】下列各運算中,計算正確的是( )
A.(x﹣2)2=x2﹣4
B.(3a2)3=9a6
C.x6÷x2=x3
D.x3x2=x5
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【題目】從河北省政府新聞辦新聞發(fā)布會上了解到,到2022年,河北省將培養(yǎng)1.5萬名冰雪項目社會體育指導(dǎo)員,數(shù)據(jù)1.5萬用科學(xué)記數(shù)法表示成a×104,則a的值為( )
A.0.15B.1.5C.15D.15 000
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