Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A（3，1）、B（m，-3）兩點．
（1）利用圖中的條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關系式；
（2）若經(jīng)過點A、B的拋物線與y軸相交于點C，且△ABC的面積為12，求點C的坐標及此拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將兩點代入反比例函數(shù)解析式即可得出m和n的值，從而求出反比例函數(shù)的解析式和B點坐標，進而把A、B點的坐標代入一次函數(shù)y=kx+b的解析式，就可求出k、b的值；
（2）設C的坐標為（0，c），令一次函數(shù)解析式中的x=0求出y的值，確定出點D的坐標，由y軸把△ABC分成兩部分△ACD和△BCD，都以|OD|為底，點A和點B點橫坐標的絕對值為高，利用三角形的面積公式分別表示出△ACD和△BCD，兩面積相加等于△ABC的面積即等于12列出關于c的方程，求出方程的解即可得到c的值，從而得到點C的坐標，設出過A，B及C三點的拋物線解析式，將三點坐標代入得到關于a，b及c的三元一次方程組，求出方程組的解得到a，b及c的值，確定出拋物線的解析式．
解答：解：（1）把A（3，1）代入反比例解析式中得：n=3，
∴反比例解析式為y=，
把B（m，-3）代入反比例解析式中得：m=-1，即B（-1，-3），
把A（3，1）和B（-1，-3）代入一次函數(shù)y=kx+b得：
，①-②得：4k=4，解得：k=1，
把k=1代入②得：-1+b=-3，解得：b=-2，
∴一次函數(shù)解析式為y=x-2；

（2）設點C坐標為（0，c），
令y=x-2中x=0，解得：y=-2，則點D（0，-2），
根據(jù)題意得：S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD，
即|c+2|•3+|c+2|•|-1|=12，
化簡得：|c+2|=6，即c+2=6或c+2=-6，
解得：c=4或c=-8，
故C（0，4）或C（0，-8），又A（3，1），B（-1，-3），
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
當C（0，4）時，把三點坐標代入得：，
解得：；
當C（0，-8）時，把三點坐標代入得：，
解得：．
∴拋物線解析式為：y=-2x²+5x+4或．
點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題以及利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式的方法，是一道中檔題．學生在作第二問時注意利用y軸把△ABC的面積分成兩部分△ACD和△BCD的面積相加．