Question

【題目】已知y是關(guān)于x的函數(shù)，如果能在其函數(shù)圖象上能找到橫坐標與縱坐標相同的一個點P（t，t），則稱點P為函數(shù)圖象上的“郡點”．例如：直線y=2x-1上存在“郡點”P（1，1）．

（1）直線y=3x-4的郡點是______；雙曲線y=上的郡點是______．

（2）若拋物線y=x2+5x-5上有“郡點”，且“郡點”A、B（點A，B可重合）的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），求x12+x22的值．

Answer 1

【答案】（1）（2，2）;（1，1）和（-1，-1）；（2）26

【解析】

(1)由“郡點”的定義可求解；

(2)由“郡點”的定義可得x1=x12+5x1-5，x2=x22+5x2-5，由根與系數(shù)關(guān)系可求x12+x22的值．

(1)把x=y代入直線y=3x-4，可得x=2=y，

∴直線y=3x-4的郡點是(2，2)，

把x=y代入雙曲線y=，可得x1=1，x2=-1，

∴雙曲線y=上的郡點是(1，1)，(-1，-1)，

故答案為：(2，2)，(1，1)，(-1，-1)；

(2)∵拋物線y=x2+5x-5上有“郡點”A(x1，y1)，B(x2，y2)，

可得x1=x12+5x1-5，x2=x22+5x2-5，

因此，x1，x2可看作是方程x=x2+5x-5的兩個實數(shù)根，

由韋達定理得：x1+x2=-4，x1x2=-5，

∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=26.