Question

5．我市的重大惠民工程--公租房建設已陸續(xù)竣工，計劃10年內解決低收入人群的住房問題，前6年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬平方米），與時間x的關系是y=-$\frac{1}{6}$x+5，（x單位：年，1≤x≤6且x為整數）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬平方米），與時間x的關系是y=-$\frac{1}{8}$x+$\frac{19}{4}$（x單位：年，7≤x≤10且x為整數）．假設每年的公租房全部出租完．另外，隨著物價上漲等因素的影響，每年的租金也隨之上調，預計，第x年投入使用的公租房的租金z（單位：元/m²）與時間x（單位：年，1≤x≤10且x為整數）滿足一次函數關系如表：

z（元/m2）	50	52	54	56	58	…
x（年）	1	2	3	4	5	…

（1）求出z與x的函數關系式；
（2）求政府在第幾年投入的公租房收取的租金最多，最多為多少百萬元．

Answer 1

分析 （1）表格中x的值每增加1，對應z的值增加2，可知z是關于x的一次函數，利用待定系數法可求得函數關系式；
（2）根據收取的租金=公租房面積×公租房的租金，分別就1≤x≤6、7≤x≤10列出函數關系式，配方找到最大值，比較可得．

解答 解：（1）由題意，z與x是一次函數關系，設z=kx+b（k≠0）
把（1，50），（2，52）代入，得
∴$\left\{\begin{array}{l}k+b=50\\ 2k+b=52\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=48\end{array}\right.$
∴z=2x+48；            
（2）當1≤x≤6時，設收取的租金為W₁百萬元，則
W₁=（$-\frac{1}{6}x+5$）•（2x+48）
=$-\frac{1}{3}{x^2}+2x+240$
=$-\frac{1}{3}$（x-3）²+243，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，
∴當x=3時，W₁最大=243（百萬元）；
當7≤x≤10時，設收取的租金為W₂百萬元，則
W₂=（$-\frac{1}{8}x+\frac{19}{4}$）•（2x+48）
=$-\frac{1}{4}{x^2}+\frac{7}{2}x+228$
=-$\frac{1}{4}$（x-7）²+$\frac{961}{4}$，
∵$-\frac{1}{4}$＜0，
∴當x=7時，W₂最大=$\frac{961}{4}$（百萬元），
∵243＞$\frac{961}{4}$，
∴第3年收取的租金最多，最多為243百萬元．

點評 本題主要考查一次函數和二次函數的實際應用能力，根據題意找到相等關系是根本，列出函數關系式并會求其最值是關鍵．