Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，點A在x軸的正半軸上，BC與y軸交于點D，點C的坐標為（-3，4）。

1.點A的坐標為  ▲   ；

2.求過點A、O、C的拋物線解析式，并求它的頂點坐標；

3.在直線AB上是否存在點P，使得以點A、O、P為頂點的三角形與△COD相似。若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

1.∵OABC為菱形，

∴BC∥OA，OC=OA=BC，

∴OD⊥BC，

∵C（-3，4），

∴CD=3，OD=4，

∴OC==5，

∴A（5，0），

2.設(shè)拋物線的解析式為，

它經(jīng)過點A（5，0）和點C（-3，4），則     …………………… 4分

解得   ∴    ……………………………………… 6分

∵，∴線的頂點坐標為�！�………………………  8分

3.因為∠OCD=∠OAB，∠ODC=90°，OC=5，OD=4，CD=3，所以…………  9分

①當∠AOP=∠ODC=90°（點P在y軸上）時,△APO∽△COD�？傻�

，即，PO=，此時P（0，）…………………… 11分

②當∠OPA=∠ODC=90°時，△AOP≌△COD，OP=OD=4。

過點P作PM⊥x軸，垂足為M，由可得PM=，OM=。

此時P（）………………………………………………………………  13分

綜上所述，存在點符合要求的點P，它的坐標為（0，）或（）…14分

【解析】（1）由菱形的性質(zhì)得OC=OA=BC，則OD⊥BC，由勾股定理得出OC，即可求出點A的坐標，

（2）設(shè)拋物線的解析式為，把點A（5，0）和點C（-3，4）代入列方程組求解

（3）分兩種情況進行討論，①當∠AOP=∠ODC=90°（點P在y軸上）時,△APO∽△COD。②當∠OPA=∠ODC=90°時，△AOP≌△COD，OP=OD=4。