如圖,已知拋物線經(jīng)過定點(diǎn)A(1,0),它的頂點(diǎn)P是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),P點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′,過P′作x軸的平行線交拋物線于B、D兩點(diǎn)(B點(diǎn)在y軸右側(cè)),直線BA交y軸于C點(diǎn).按從特殊到一般的規(guī)律探究線段CA與CB的比值:
(1)當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)時(shí),寫出拋物線的解析式并求線段CA與CB的比值;
(2)若P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,m)時(shí)(m為任意正實(shí)數(shù)),線段CA與CB的比值是否與(1)所求的比值相同?請(qǐng)說明理由.

解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+1(a≠0),
∵拋物線經(jīng)過A(1,0),
∴0=a+1,a=-1,
∴y=-x2+1.
∵P′、P關(guān)于x軸對(duì)稱,且P(0,1),
∴P′點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-1),
∵P′B∥x軸,
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1,
由-1=-x2+1,
解得x=±,
,
∴P'B=
∵OA∥P'B,
∴△CP'B∽△COA,


(2)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+m(a≠0),
∵拋物線經(jīng)過A(1,0),
∴0=a+m,a=-m,
∴y=-mx2+m.
∵P′B∥x軸,
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-m,當(dāng)y=-m時(shí),-mx2+m=-m,
∴m(x2-2)=0,
∵m>0,
∴x2-2=0,
∴x=±,
,
∴P'B=,
同(1)得
∴m為任意正實(shí)數(shù)時(shí),
分析:(1)根據(jù)拋物線經(jīng)過A(1,0),設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+1,首先得出二次函數(shù)解析式,進(jìn)而得出P'點(diǎn)的坐標(biāo),從而得出B點(diǎn)坐標(biāo),再利用△CP′B∽△COA,得出線段CA與CB的比值;
(2)根據(jù)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+m(a≠0),得出y=-mx2+m,首先表示出B點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而利用△CP′B∽△COA,得出線段CA與CB的比值.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì),得出根據(jù)P′B=,再利用△CP′B∽△COA,得出是解決問題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A,它的對(duì)稱軸x=-2與x軸交于點(diǎn)C,直線y=-精英家教網(wǎng)2x+1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B(2,m),且與y軸.直線x=-2分別交于點(diǎn)D、E.
(1)求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)①判斷△CBE的形狀,并說明理由;②判斷CD與BE的位置關(guān)系;
(3)若P(x,y)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PB=PE?若存在,試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•衡陽)如圖,已知拋物線經(jīng)過A(1,0),B(0,3)兩點(diǎn),對(duì)稱軸是x=-1.
(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
①當(dāng)t為何值時(shí),四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A,它的對(duì)稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)C,直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B(-2,m),且與y軸、直線x=2分別交于點(diǎn)D、E,
(1)求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求證:①CB=CE;②D是BE的中點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,且頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,2),
(1)求該拋物線的解析式;
(2)現(xiàn)將它向右平移m(m>0)個(gè)單位,所得拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn),與原拋物線交于點(diǎn)P,△CDP的面積為S,求S關(guān)于m的關(guān)系式;
(3)當(dāng)m=2時(shí),點(diǎn)Q為平移后的拋物線的一動(dòng)點(diǎn),是否存在這樣的⊙Q,使得⊙Q與兩坐標(biāo)軸都相切?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上的另一點(diǎn)E,頂點(diǎn)為M(2,4),矩形ABCD的頂點(diǎn)A與O重合,AD,AB分別在x,y軸上,且AD=2,AB=3.
(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)現(xiàn)將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長度的速度從左圖所示位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng);同時(shí)AB上一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤3),直線AB與拋物線的交點(diǎn)為N,設(shè)多邊形PNCD的面積為S,試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,說明理由.
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案