Question

1．如圖（a）所示直角三角板ABC的邊長(zhǎng)BC=a，AC=b，開始時(shí)AB邊靠在y軸上，B與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合．今使A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向朝O點(diǎn)移動(dòng)，B點(diǎn)沿x軸正方向移動(dòng)，可知三角板從圖（a）所示的初始位置到圖（b）所示終止位置的過程中，C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為往返的直線（選填：“單方向的直線“、“往返的直線“、“一段圓弧“或“非圓弧狀的其他曲線“），C點(diǎn)在此過程中通過的路程為2$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$-a-b．

Answer 1

分析 可以嘗試用三角板領(lǐng)悟，描點(diǎn)，連上看看，確定C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．然后利用平面幾何知識(shí)推證C點(diǎn)的軌跡并求出C的運(yùn)動(dòng)的路程．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)CA交X軸于點(diǎn)E，連接OC．
∵∠AOB=∠ACB=90°，
∴∠AOC+∠ACB=180°，∠CAO+∠CBO=180°
∵∠1+∠CAO=180°，
∴∠1=∠CBO，
∵∠AEO=∠BEC，
∴△AEO∽△BEC，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{EO}{EC}$，
∴$\frac{AE}{EO}=\frac{EB}{EC}$，
∵∠AEO=∠BEC，
∴△ECO∽△EBA，
∴∠2=∠3，∵∠ADC=∠ODB，∠2+∠5+∠ADC=180°，
∠3+∠4+∠ODB=180°，
∴∠5=∠4，
∵∠5是定值，
∴∠4也是定值，
即∠COB是定值，
∴點(diǎn)C在射線OC上運(yùn)動(dòng)，
故答案為：往返的直線．
點(diǎn)C往返運(yùn)動(dòng)的路徑，如圖，C₁到C₂再到C₃，
路徑=C₁C₂+C₂C₃=（$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$-a）+（$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$-b）=2$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$-a-b
故答案為：2$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$-a-b．

點(diǎn)評(píng) 本題目考查相似三角形的性質(zhì)和判定以及勾股定理等知識(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力和空間思維能力．